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 分类:分析笔记

圆周率是超越数的证明

圆周率是超越数的证明
1882年林德曼在埃米尔特所证:$e$为超越数的基础上,借助于欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$证明了$\pi$的超越性。证明了$\pi$的超越性自然就证明了圆周率必定是无理数,而其另一个证明方法可以参考:http://www.jjmath.com/archives/489 定...

huijiaorz 1个月前 (09-08) 153℃ 0评论 1喜欢

自然对数的底数e为超越数的证明

自然对数的底数e为超越数的证明
刘维尔于1840年证明了$e$为非二次代数数,时隔33年后的1873年埃米尔特证明了$e$是超越数。$e$是超越数当然也必定是无理数。而对于$e$为无理数的另一个证明可参考:http://www.jjmath.com/archives/544 引理 命$$f(x)=\sum_{m...

huijiaorz 1个月前 (09-08) 136℃ 0评论 0喜欢

欧拉(Euler)常数

欧拉(Euler)常数
引理 对$n\in N_+$,有如下不等式$$\frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$$ 证明:由严格单调递增有界数列$a_n=(1+\frac{1}{n})^n$和严格单调递减有界数列$a_n=...

huijiaorz 1个月前 (09-06) 72℃ 0评论 1喜欢

自然对数的底e是无理数的一个证明

自然对数的底e是无理数的一个证明
自然对数的底$e$也是通过下面这个重要极限给出的,或者说是通过下面的极限定义的。 自然对数的底e的定义 设$a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}, n\in\mathbf{N}_{+}$,证明:$\{a_n\}$严格单调增加且收敛。 证明:利用平均值不等式,有$$a...

huijiaorz 1个月前 (09-06) 166℃ 0评论 2喜欢

欧拉使用形式运算法导出的一个级数公式

欧拉使用形式运算法导出的一个级数公式
级数$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$$ 首先由莱布尼茨给出,该公式的给出结束了圆周率的人工计算。欧拉从另外的角度给出该公式的一个推导,但总感觉有哪里欠妥当。 欧拉从棣莫弗尔于1730年提出的数...

huijiaorz 3个月前 (08-01) 331℃ 0评论 0喜欢

使用极限定义证明极限问题

使用极限定义证明极限问题
有些极限的问题可以通过极限的性质、运算规则,以及常用的重要极限来解决极限证明或求解。除此之外理解和掌握极限定义,依次证明极限问题是最基础的能力。 要证$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a$,按定义:$\forall\varepsilon&g...

huijiaorz 3个月前 (07-29) 139℃ 0评论 3喜欢

圆周率是无理数的一个证明

圆周率是无理数的一个证明
从接触圆周率开始,就被告知圆周率是无理数。下面的证法是由I.Niven给出的,详情请参考美国数学月利,108卷(2001),222-231页(数学译林 2001第3期)。该证明用的是反证法,这点是不难理解的。用到的背景知识也不多,学过极限和积分都不难理解。下面是反证法的证明过程。...

huijiaorz 3个月前 (07-26) 130℃ 0评论 0喜欢

妙哉!妙哉啊!分别使用极限和多项式导出伴随矩阵的一个运算规则

妙哉!妙哉啊!分别使用极限和多项式导出伴随矩阵的一个运算规则
这里使用的证明有很好的启发性,首先是特殊的情况:两个矩阵都可逆时,容易知道结论是成立的。而再从这一特殊情况出发,考虑两个矩阵的多项式,只是分别通过构造的序列和多项式将这种特殊情况下的等式成立关系,推导到一般的情形。该命题本身大有用处,这两个证明也是非常的值得学习,请留意这种从特殊...

huijiaorz 3个月前 (07-07) 109℃ 0评论 3喜欢

数学大师欧拉的猜想与类比

数学大师欧拉的猜想与类比
类比,是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,数学对象形式结构的接近,从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法,也是一种观点。 类比的推理是一种“合情推理”,不是证明,它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是,它是获得新思路,新发现的一种...

huijiaorz 4个月前 (06-23) 106℃ 0评论 0喜欢