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 分类:高数笔记

使用极限定义证明极限问题

使用极限定义证明极限问题
有些极限的问题可以通过极限的性质、运算规则,以及常用的重要极限来解决极限证明或求解。除此之外理解和掌握极限定义,依次证明极限问题是最基础的能力。 要证$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a$,按定义:$\forall\varepsilon&g...

huijiaorz 3个月前 (07-29) 139℃ 0评论 3喜欢

圆周率是无理数的一个证明

圆周率是无理数的一个证明
从接触圆周率开始,就被告知圆周率是无理数。下面的证法是由I.Niven给出的,详情请参考美国数学月利,108卷(2001),222-231页(数学译林 2001第3期)。该证明用的是反证法,这点是不难理解的。用到的背景知识也不多,学过极限和积分都不难理解。下面是反证法的证明过程。...

huijiaorz 3个月前 (07-26) 130℃ 0评论 0喜欢

妙哉!妙哉啊!分别使用极限和多项式导出伴随矩阵的一个运算规则

妙哉!妙哉啊!分别使用极限和多项式导出伴随矩阵的一个运算规则
这里使用的证明有很好的启发性,首先是特殊的情况:两个矩阵都可逆时,容易知道结论是成立的。而再从这一特殊情况出发,考虑两个矩阵的多项式,只是分别通过构造的序列和多项式将这种特殊情况下的等式成立关系,推导到一般的情形。该命题本身大有用处,这两个证明也是非常的值得学习,请留意这种从特殊...

huijiaorz 3个月前 (07-07) 109℃ 0评论 3喜欢

圆周率的计算依据的公式

圆周率的计算依据的公式
众所周知,圆周率是圆的周长与直径的比值。在古代的数学史上,圆周率的研究和计算一定程度上反应了当时的数学水平。古希腊阿基米德,阿拉伯的卡西,古印度阿耶波多,古代中国祖冲之和刘徽等等数学家,都致力于圆周率的研究和计算,先后给出了圆周率的估值。刘徽等人使用的是割圆术:使用内接于圆的正多...

huijiaorz 4个月前 (06-13) 424℃ 0评论 1喜欢

函数的一致连续性专题

函数的一致连续性专题
当函数在区间上一致连续时,无论区间上的任何部分,只要自变量的两个数值足够接近,总可以确保函数值达到预定的接近程度。这是描述函数整体趋势的一个概念,比连续性更强。 一致连续定义 设函数$f(x)$在区间$I$上有定义,如果$\forall\varepsilon>0,\exis...

huijiaorz 4个月前 (06-13) 202℃ 0评论 1喜欢

柯西方程

柯西方程
柯西方程 设函数$f$在$x=0$处连续,且对任何$x,y\in{R}$有$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ 证明:$f$在$R$上连续,且$f(x)=x\cdot{f(1)}$。 证明:首先证明连续性,由于对任何$x,y\in{R}$有 $$f(x+y)=f(x)+f(y...

huijiaorz 4个月前 (06-13) 171℃ 0评论 1喜欢

柯西不等式及其推论

柯西不等式及其推论
柯西不等式在$n$维欧式空间,概率期望等方面有大量的推广使用。 柯西不等式 $$\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2} \leq\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{...

huijiaorz 4个月前 (06-13) 166℃ 0评论 1喜欢

奇思妙想:多边形面积最值算法?

奇思妙想:多边形面积最值算法?
三角形面积 如果三角形$\Delta{ABC}$对应的三条边为$a、b、c$,那么三角形的面积如何求呢? 三角形是一个稳定的结构,三条边一旦确定,其面积也随之确定;那三角形的面积是否能用其边长的解析式表示呢? 给出一个解析过程,余弦定理:$cosC=\frac{a^2+b^2-c...

huijiaorz 4个月前 (06-13) 324℃ 3评论 1喜欢

古怪的函数:处处连续不可微函数

古怪的函数:处处连续不可微函数
萌芽 连续性与可微性的关系是古典分析中的重要课题。早在牛顿和莱布尼兹的时代, 人们就已知道连续性是可微性的必要条件, 然而对连续性是否是可微性的充分条件这一问题的认识却经历了一个漫长的过程。 直到十九世纪中叶, 人们还把函数的概念和作为动点运动轨道的曲线的几何概念联系在一起。 由...

huijiaorz 4个月前 (06-13) 74℃ 0评论 1喜欢