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数学需要“套路”么?需要!太需要了!数学几乎充满着套路

数学感悟 huijiaorz 237℃ 0评论

相传托勒密王朝国王,向欧几里得请教几何学习的捷径。要我说,这个不务正业的国王不思朝政“上早朝,批奏折”,整天琢磨几何干嘛呀,我都不能说他“闲的”,更不能说他腐败。欧几里得谁啊,能惯着他么,根本不会屈从帝王的尊严,怼起来也是一点面子都不给。咱也不知道是情商低呀,还是直率、傲慢?好吧!欧几里得直率的回复敬爱的陛下,说:几何中无王者之路。言下之意就是,爱学学。

欧几里得所著的《几何原本》锚定了西方数学的长期发展,在五大公设的基础上,演绎出了大量丰富的命题,这些几何命题的证明,技巧性很强,很多的数学研究者都接受了这类的思维训练,可以说《几何原本》是数学史上最成功的教材,甚至很多内容被现在的中学教材所采用。请原谅我提起了大家的伤心往事。就像前面提到的托勒密国王,不乏有人想过能否让几何问题的推演更简单一些呢?

直到17世纪的法国数学家笛卡尔,就像马丁·路德·金有个伟大的梦想,笛卡尔也有一个白日梦,哦不,伟大设想:

一切问题化为数学问题,一切数学问题化为代数问题,一切代数问题化为代数方程求解问题

不能说笛卡尔是完全空想,基于此所创立的解析几何,将空间形式与数量关系之间架起一座桥梁——坐标系,从而实现了初等几何问题的代数化。想想中学时,那些让人头大的几何题:从使用几何定理推演的压轴题,变成了建立直角坐标系,然后再机械计算的送分题。不要说你要不起!很难说,这不是一种套路!

在到了德国数学家希尔伯特时期,希尔伯特提出了公理系统中的判定问题,同样是一个设想:

有了一个公理系统,就可以在这个系统基础上提出各式各样的命题,那么,有没有一种机械的方法或者算法,对每一个命题加以检验,判断它是否成立?

没错,这就是希尔伯特想建立的套路。然而数理逻辑的专家——哥德尔的不完全定理的面世,打碎了希尔伯特的梦想。

  • 哥德尔的成果指明:即使是在数论领域,对所有命题进行判定的机械化方法都是不存在的!
  • 波兰数学家塔斯基则证明了,初等几何及初等代数的定理证明,是可以机械化的。

基于此,数学家对数学的机械化方法或者套路,依然是贼心不死。这似乎也是数学上的套路:对一类问题先考虑能不能解,有没有解?能够确定有解的话,然后再去找答案。

数学的脑力劳动主要是两种,一种是计算,另一种定理证明或公式推导。而美国著名的数理逻辑学家洛克菲勒大学教授王浩在论文《向机械化数学前进》中对比了两种数学劳动的不同:

  • 计算要枯燥、刻板些,证明更美妙、灵活些
  • 计算方法可能较简单,容易操作和理解,而计算量大;证明的难度要高

对于计算问题,其机械化、套路化几乎是自然的。比如17世纪,法国的哲学家、数学家帕斯卡发明了机械式的计算机,可完成加减运算;而莱布尼茨在此基础上,进行改进实现了乘法运算。这都是在为数学机械化,或者说是为计算的机械化寻找突破。数学家似乎也倾向于将数学问题转化为计算问题,寻求其中的套路。不可否认,数学中会有大量的工作是可以机械化、套路化的,数学家只是想找到这样的套路,从而从这些工作中解放出来。就像工业革命时,对纺织等实现的机器生产,以机械的方式代替体力劳动;只是数学家在考虑机械化、套路化一些脑力劳动,并无本质的差别。

计算的套路话是大家不难理解的,比如对于线性方程组问题,中学时就学过这一套路,就是高斯消元法。这一计算就是机械的,套路学会了,四则运算也早就会了,相信你是不愿意去大量重复这类题目的。老师要求除外,考试除外,也别说你啥题目都没兴趣、不想尝试。如果说线性方程组中有几百个变量呢,或者要求你在极短的时间内给出正确结果呢?这种计算要么繁琐到折磨人,要么几乎无法完成。就像控制导弹飞行姿态的计算,计算量大、要求实时。

其实每个算法、每个定理都是某一类或几类问题的套路。而对于定理证明的机械化,正是要追求的终极套路。近年来也确实有一些成果,给了人们信心:

  • 1959年,王浩设计了机械化方法,仅仅耗时9分钟,就证明了罗素《数学原理》中的几百条定理,引起不小的轰动。
  • 1976年,哈肯等人在高性能计算机上,耗时1200小时,证明了“四色猜想”。
  • 1977年,中国吴文俊的“吴方法”对初等几何的机械化切实可行。

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