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深入浅出的理解数学构造法

数学感悟 huijiaorz 61℃ 0评论

构造法是数学中常用的方法,从中学阶段开始就已经不陌生了,例如:一些平面几何问题中添加辅助线;数形结合,证明不等式;这些便是构造方法。

现在看一个例子:任何一个函数都可写成一个奇函数与偶函数的和。

该命题是一个很简单的陈述,可以对任意的函数记为f(x),那接下来的疑问就是这里的奇函数和偶函数分别是什么呢?这似乎是再自然不过的逻辑了,事实上很多可使用构造方法的问题,并不这么容易有思路!这里只要能找到满足条件的奇函数和偶函数,问题就解决了,似乎这是唯一的难点。我们的线索就只有函数f(x),那是不是应该从f(x)入手去构造奇函数和偶函数呢?OK,接下来就是见证奇迹的时刻!

$$\begin{aligned}F(x)&=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=F(-x)\\G(x)&=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-G(-x)\\f(x)&=F(x)+G(x)\end{aligned}$$

对于这三个式子想必不用多解释了,这已经是非常明显的构造法了。

通俗的案例

相信很多恋爱中的情侣都经历过,或者没恋过但见过“猪跑”的单身耳闻过:女孩问男孩,我和你妈同时掉水里,你先救谁?想想看,这个问题就是女孩蓄意构造出来的呀!男同胞,是不是心有余悸,瑟瑟发抖~~

最近还看到一个年轻的妈妈问孩子:宝贝儿,妈妈掉水里了,你是先吃苹果还是先吃香蕉?这个问题自然也是妈妈构造出来的啊。可能是妈妈期待宝宝暖她一下下;又或者她觉得宝宝不是亲生的,找个借口,然后拍两下?

比较一下,这两个问题好像有着异曲同工之妙啊。但是我有个更温馨的建议,两个问题结合构造一下,似乎更贴合女人的心理呢。不要问我男人为何为难男人,我喜欢看热闹呗~~。女人可以这么考验你的挚爱,问他:亲~,我和咱妈掉水里,你是先吃苹果还是先吃香蕉呢?

很多时候的构造是始于直觉,数学史上有不少的知名的数学命题或者猜想都是来自直觉,比如对于猜想的否定,只需要给出反例,而反例的构造就是构造法。构造反例肯定是考虑既要满足条件,还要是使得命题结论不成立。构造是要结合命题条件和结论的,有时候数学家会从结论出发或者从自己的直觉出发。举个更容易懂的非数学例子:想必大家都听过“早起的鸟儿有虫吃”,这句话多作为一句励志的话使用。可能有些人会想到,那早起的虫呢?被鸟吃!想象一下这个画面:课堂上,一只肥鸟老师在教一群萌萌的虫子“早起的鸟儿有虫吃”。这样的构造,把一句励志的话变成了“阴谋”。

著名的构造应用

构造法无论是在数学史上,还是现在都是在广泛使用的一种方法,包括到最前沿的数学研究依然可以是趁手的利器。比如数学史上那些知名构造方法的使用实例:

  • 处处连续不可微函数的构造
  • 李雅普诺夫函数的构造,用于微分方程解的稳定性分析
  • 康托尔集的构造

要知道一点构造法的关键就在构造,而构造对技巧的要求就会比较的高,很多构造性的方法和证明中,在阅读时,总会被这种高超的技巧所折服。但就具体问题具体分析来讲,李雅普诺夫函数法在微分方程的稳定性分析中的应用,构造李雅普诺夫函数就是一个很有技巧的工作。很多结果会依赖于选择或构造的李雅普诺夫函数,尤其在控制中的应用,李雅谱诺夫函数选的不够好,那得出很保守的结果对于实际的工程应用就无多大的意义。于应用数学层面,在数学家职业化的今天,很多的数学求学及工作者会使用这种方法去讨论一些问题,开创性的工作也多在构造上了。

既然结果依赖于构造,构造不出并无法确定微分方程是否稳定,那寻找其他方法来避免这一方法的局限性,似乎是数学家更应该做的事情。个人水平有限,胡乱评论一下。

小结

使用数学构造法时,往往是结合问题的条件与结论,经过细致的观察或者敏锐的直觉,综合考虑问题的特征、性质,去完成问题的分析。构造法往往是构造出满足条件或结论的新问题。数学中的对象非常丰富,有函数、方程、数、群等等,而构造法自然是构造的数学对象,通过对问题中数学对象特征的敏锐观察,展开丰富的联想、正确等价的转换,将原问题构造出新的问题或对象来考虑。

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