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具有超自然洞察力的印度天才数学家——拉马努金

大师风采 huijiaorz 74℃ 0评论

拉马努金性格敏感、固执,生病的期间喜怒无常、爱发脾气。而且对人际关系也是全然的无知,总能给人以天真、诚恳。拉马努金的这些性格会在后续的故事中得到一一体现。

德国数学家克莱因曾经说过:推进数学的,主要是那些有卓越直觉的人,而不是以严格的证明方法见长的人。而拉马努金就是凭借超自然的洞察力,取得了大量深刻的数学成果。要知道,这在数学史上是非常之罕见的。甚至不过分的说,拉马努金是空前的一位。

作为理性主义者的哈代评价说:拉马努金知识的局限性和它的深奥性同样令人吃惊。哈代甚至觉得天才的拉马努金可以比肩欧拉和雅可比。但即使天才,也说明“直觉”不是万无一失的,拉马努金笔记本中的公式有小部分是错误的。单就对于数学发现,没人知道未受系统数学教育的拉马努金是如何做数学研究的,或者说是如何发现那么深刻的公式的?对!没人能清楚这些。

成绩离谱的少年

1887年12月22日,拉马努金出生于南印度泰米尔纳德邦的埃罗德,种姓虽是婆罗门,但家境并不算富裕。年幼时的拉马努金就开始沉迷于安静思考,常常会提出一些问题。一直到中学毕业,成绩都是好到离谱。前面又说到他敏感,比如9岁时,贡伯戈纳姆市政厅组织了小学考试,算术部分满分45分,他得了42分。而另一个同学得了43分,这让他伤心气氛,拒绝与该同学沟通。

11岁的拉马努金阅读了龙尼著作的《龙氏三角形》,该书是当时南印度各学院及英文预备学校里最流行的一本英国教科书,内容相当深,13岁的拉马努金能够掌握全书。拉马努金与其他孩子的不同之处:就是成绩好、有上进心,心中充满强烈的求知欲,毫不松弛的专注;对玄奥的异像很有兴趣,喜爱神秘,常常沉迷于哲学和神学之中。正可谓前途无量、未来可期,是个名副其实的别人家的孩子!14岁的拉马努金被同班同学视为外星人,不合群、无法交流,不懂他说什么的人。

1903年,拉马努金在离开市立中学前得到一本卡尔的名为《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》,书中收录了5000多个方程,还有定理、公式、几何图形等其他的数学知识,内容囊括了代数、三角、微积分、解析几何、微分方程等几乎19世纪的大部分数学知识。但是书中很少定理的证明,有些甚至连注释都没有。这本书无疑是拉马努金的乐园,自此对数学狂热专一,没人清楚他在这本书里收获了什么、得到了什么样的灵感和训练。

无法毕业的天才

1904年,拉马努金从市立中学毕业,进入贡伯戈纳姆的政府学院。由于成绩优异而获得奖学金。入学后的拉马努金不会听数学课以外的课,也不会做其他课程的功课。这与他曾经各科都很优异的成绩形成鲜明的对比,因此而被取消奖学金。由于校规规定有奖学金,才能免学费。由于失去了奖学金,学费加大了父亲的压力,而这又加大了拉马努金的压力,他并不想为了奖学金而花费时间在其他科目上,于是拉马努金离家出走了。

离家出走的拉马努金到马德拉斯的帕协阿帕学院入学,在这里虽然得到了资深数学教授辛加拉维鲁.马达利尔的赏识,但同样因为其他科目的不及格,而无法获得学位,这意味着毕业后的拉马努金无法找到合适的工作,成为退学的失业人员或者无业游民。拉马努金的世界里只有数学,心无旁骛,不想在其他的事情上花费过多的时间。

无业游民找工作

为了维持生活,拉马努金尝试了为学生补习数学的工作,只是他的补习并不按照教材、书本来讲,对学生成绩的提高也无明显效果。至此,拉马努金无学位、无工作,数学上也没有与其他数学家的沟通,在这种情形下,拉马努金整整独立研究数学5年,因为没钱买草纸,拉马努金用粉笔在石板上演算,以至于胳膊肘被磨出老茧。幸运的是,他的家人对他非常宽厚,并不逼迫其工作。正所谓“嗜欲浅着天机深,嗜欲深者天机浅”,拉马努金有了不少的成果,堆满了自己的笔记本。

拉马努金的妈妈为了改变他,让他负起家庭的责任,给他安排了婚姻。于是婚后的拉马努金,于1910年再次来到马德拉斯,向推销员一样的推销自己,以期望找到一份工作。这期间,拉马努金带着自己的笔记本,作为学位证书使用。

经过多次的辗转,接触上了有影响力的数学家拉马钱德拉,并在“四顾茅庐”后,最终拉马努金在椭圆积分和超几何数方面的才气,打动了拉马钱德拉。而拉马努金只要求工作能维持生活就好,要有足够的闲暇。更幸运的是,拉马努金真的是遇到了伯乐,拉马钱德拉明白这个“闲暇”是为数学争取的。在短暂的内洛尔市税务师工作后,拉马钱德拉为了不让这平庸的工作窒息拉马努金的才气,赞助他留在马德拉斯,而在1911年拉马努金在《印度数学会杂志》上发表他的第一篇论文,自此登上印度数学及世界数学的舞台。在拉马钱德拉资助的一年多时间里,拉马努金比较高产,但仍然没有职业,于是拉马钱德拉引荐其进入马德拉斯的港务信托处工作,起初只是财务科的一名三等四级职员,后来拉马钱德拉继续帮助拉马努金获得了只拿薪水几乎不干活的闲差,这让他有时间去思考数学,即使是上班时间。对这种情况,马德拉斯港口的总工程师斯普林爵士和港务信托处总会计长纳拉亚纳都是睁一只眼闭一只眼,他们同样是拉马努金的伯乐。

拉马努金经常收集码头上的包装纸用于演算,而且竟然把这些稿纸夹带在工作文件中递交给了斯普林爵士,这让斯普林爵士非常恼怒,斯普林将纳拉亚纳叫到办公室质问,在纳拉亚纳告知是拉马努金的笔迹后,斯普林爵士一笑置之,并无脾气。而作为拉马努金顶头上司、同事的纳拉亚纳是数学会的一名成员,有着不错的数学功底,因此成为拉马努金的顾问、良友,整天一起搞数学,只是纳拉亚纳会要求速度放慢,推算的步骤不能太跳跃,必须放到纳拉亚纳能理解的节奏上。而因为斯普林爵士的赏识,使得拉马努金进入“英国印度”的社会。

千里马遇伯乐

虽然拉马努金的数学才气已经是小有名气,同时也不缺乏质疑:拉马努金到底是不是一个天才?
伦敦大学学院的数学教授希尔给出了中肯的评价和建议,希尔的回信使得拉马努金决定与欧洲的数学家进行交流。没错!拉马努金需要一个有“分量”的伯乐,于是他先后给声誉极高的英国数学家贝克、霍布森、哈代写信,只有哈代帮助了他。拉马努金在给哈代的信中提到素数定理,该定理最早由勒让德给出,又由高斯改进,而拉马努金给出一个更好的结果,这成果吸引了哈代。信中还附上了一个9页的论文,哈代读信的当天没有搞懂拉马努金的公式,也无法透过论文判断写信的印度小伙是不是天才,于是找到好友李特伍尔德,寻求帮助。在两人半夜三更、3个小时的审查之后,他们意识到拉马努金确确实实是一个天才。在接下来的日子里,哈代在剑桥向人展示了拉马努金的小论文,并在自己生日的第二天给这位印度小职员回信,信中字里行间无不体现出急切、兴奋,并鼓励和要求拉马努金提供严格精确的证明,这中要求一直保持在之后的交流中。

下面的这个公式就是信中小论文第3页底部:
$$\int_0^\infty\frac{1+(\frac{x}{b+1})^2}{1+(\frac{x}{a})^2}\cdot\frac{1+(\frac{x}{b+2})^2}{1+(\frac{x}{a+1})^2}\cdots dx=\frac{1}{2}\pi^{\frac{1}{2}}\frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+1)}$$

再来一个

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{e^{-a^{2}}}{2 a+\frac{1}{a+\frac{2}{2 a+\frac{3}{a+\frac{4}{2 a+\cdots}}}}}$$

无从知道数学大师哈代看到这些公式的感触。请体会一下是什么感觉,你会想到这公式是如何得到的吗?要知道这样的工作成果,在拉马努金的笔记本里有太多了。

哈代的评价和回信,使得拉马努金的命运有了转机,沃克、斯普林和马德拉斯数学界的其他人因哈代的信而增强了信心,当然包括拉马努金本人。在收到哈代回信的6个礼拜后,关于拉马努金的安置最终使得拉马努金获得奖学金,他可以自由的做数学,到大学听课,使用图书馆。在接下来的一段时间里,拉马努金专注于自己的数学研究,而与哈代的多次通信中,依然没有向哈代提供证明,这甚至让李特伍尔德和哈代误会了拉马努金,文化与地理鸿沟确实不大方便且易于产生误会。

哈代在一开始就有意要拉马努金到剑桥发展,可能会碍于宗教、政治等原因,拉马努金没有去英国的意向。但是通信的效率确实有点太低了。于是哈代委托内维尔说服拉马努金到剑桥,在内维尔与拉马努金的接触中,也仅仅是三日第三次见面就已经被拉马努金的真诚打动,让内维尔意外的是拉马努金没有再否定自己去剑桥的意愿,其中缘由也并不确定。在接下来,拉马努金的资金问题得到解决,安置好家人后,启程去了英国。

要知道印度是有种姓制度的,很难想像如果不是“婆罗门”种姓出身的拉马努金在推销自己的路上还要徘徊多久,可能在与一些人接触时就会吃闭门羹。对于拉马努金来说,能遇到纳拉亚纳、斯普林爵士、哈代等等这些人,他太幸运了。

拉马努金短暂的春天

来到剑桥后,拉马努金与哈代几乎天天见面,工作就从拉马努金的笔记本开始入手。拉马努金得到了哈代的悉心指导,开始学习严格和证明。笔记本中的部分内容在经过哈代的筛选和编辑后,完成了一些论文的发表。在应该的4年间,共发表20篇论文。或许是由于饮食、作息的不规律和高强度的数学专注工作,使得拉马努金病倒了,然而得病的真正原因和所得病患并不确定。又由于一战的爆发,海路封锁,物资匮乏;作为严格素食主义者的拉马努金,吃不到自己喜欢的印度菜,得不到母亲或妻子的照料;三一学院的研究院申请被拒绝;由于家庭纠纷,与印度中断了书信;在得病期间,数学的工作又处于停滞;在这种情况下和那个时代背景下,敏感的拉马努金身心疲惫。一个印度人置身海外、举目无亲,虽然和哈代交流频繁,但除数学外是没有交流的。敏感加病重的拉马努金不知道是压力大,还是心灵受到创伤,最终选择在火车站跳轨自杀,幸好火车没有撞到他。

为缓解拉马努金的状态,哈代为拉马努金提名了皇家学会会员,并获得通过,正式的成为皇家学会会员,这一荣誉的分量远比三一学院研究员要重的多。得到这一喜讯后,拉马努金的状态确实有所好转。之后李特伍尔德又帮助拉马努金成为三一学院研究员。

天才的陨落

一战结束,海路没有了潜艇的威胁,功成名就的拉马努金将回国提上了日程。1919年3月27日,拉马努金回到了印度,尽管拉马努金有了充足的经费,能够确保富裕的生活开支,但家庭纠纷更是让本就阴郁沉闷的拉马努金,雪上加上,多多少少未能得到精心的照顾。在这最后的短暂时光里,拉马努金完成了临终前的最后一个问题“仿θ函数”,之后不久便在贡伯戈讷姆去世。

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