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跨越358年的恶作剧:费马大定理的启示

大师风采 huijiaorz 71℃ 0评论

有人说,把人逼急了,什么事儿都干得出来。相信我,费马大定理真的把人逼急了!当我了解完费马大定理的故事后,也是感慨万千。接下来,首先给出费马大定理的主要节点事件,对费马大定理有了解的读者可以直接忽略,然后去阅读最后的启示。

费马大定理

1637年,法国业余数学家费马在研读丢番图的《算术》时,在书上写了短短的几行,大意为:除平方之外,任何次幂都不能拆分为两个同次幂之和。我已经找到了一个绝妙的证明,但书边空白过窄,写不下。这个恶作剧式的问题就是著名的费马大定理,这个谜题困惑了数学界整整358年之久,在这期间大名鼎鼎的数学家欧拉、高斯、柯西、勒贝格等人都有过不同的尝试,但均未成功。直到1994年,由英国数学家安德鲁-怀尔斯解决。

阶段性的成果

  • 费马本人使用“无限下降法”证明了n=4的情形
  • 欧拉证明了n=3时,费马大定理成立;只是证明方法在用于n=5的尝试时,就行不通了。
  • 在已经证明了n=3和n=4的情形后,人们意识到为证明费马大定理,只需再证明n=5、7、11、13等奇素数的情形。
  • 狄利克雷和勒让德分别独立的证明了n=5的情形
  • 拉梅证明了n=7的情形,值得一提的是高斯也做了n=7的尝试,失败后并无更多关注。狄利克雷、勒让德和拉梅的结果都是在女数学家热尔曼的工作基础上作出的。

首次重大突破

高斯的学生,德国数学家库默尔使用自己创立的理想数理论,首次对一批指数n给出了证明。库默尔的工作是在高斯的思想方法的基础上做出了进一步的研究。库默尔的工作推动了代数数论的发展,经过戴德金等人的系统化,将库默尔的工作推广到代数数域,建立了理想理论。在库默尔之后,费马大定理陷入了停滞。

到20世纪初,德国的实业家大富豪沃尔夫斯凯尔为费马大定理设立了10万马克的大奖,在接下来的100年之内谁能首先解决费马大定理,谁将获得该奖金。俗话说,重赏之下必有勇夫,这确实吸引了不少人的努力,然而主流的数学界却动静不大。

随着计算机的发展,费马大定理的成立的指数在逐渐增大,尽管如此,也无法穷尽所有的整数啊。

费马大定理的最后攻坚阶段

首先揭开序幕的是德国年轻的数学家法尔廷斯,1983年他证明了代数几何中的猜想“莫德尔猜想”,该猜想由英国数学家莫德尔于1922年提出。莫德尔猜想成立,能确定费马大定理成立的整数解最多有有限个。猜想描述如下:

亏格大于等于2的不可约代数曲线上只有有限多个有理点。

当然了,法尔廷斯的工作并没有完成费马大定理的证明,他排除了无穷多个解的可能。1955年,由日本的两位青年数学家谷山丰和志村五郎提出了“谷山-志村猜想”:有理数域上的椭圆曲线都可以模形式化。而谷山-志村猜想与费马大定理又有什么关系呢?在谷山-志村猜想提出30年后,德国数学家弗雷给出了弗雷命题,而弗雷命题若成立,那么谷山-志村猜想和费马大定理是等价的。幸运的是:1986年美国加州大学伯克利分校的肯·里贝特证明了弗雷命题,这使得费马大定理的证明方向转为了谷山-志村猜想,然而谷山-志村猜想同样是一个让人生畏的难题。

这费马大定理的最后一棒是由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成的,怀尔斯在读博期间的主要领域就是椭圆曲线、模形式和分圆域理论。在里贝特证明了弗雷命题之前,怀尔斯也认为费马大定理是一个孤立问题。在这之后改变了怀尔斯的这一想法,使他决定“一个人冒险”攻克费马大定理。当然了,在解决费马大定理之前,怀尔斯开始着手准备:用了18个月的时间来阅读和收集椭圆曲线、模形式等相关的数学工具、技巧和方法。

怀尔斯从椭圆曲线和模形式入手,考虑使用归纳法证明,这需要对椭圆曲线和模形式进行“排队”,于是引入伽罗瓦群的方法。开始使用自己熟悉的岩泽理论作出尝试,持续一年而失败。在鉴于自己已有的知识结构的局限,怀尔斯意识到需要学习新的数学方法,幸运的是他找到了科里瓦金-弗莱切方法。然而要使的该方法能成功奏效或进行改造,都需要学习更多新的数学,艰深的代数等,这让怀尔斯意识到需要寻找他人的帮助或合作。最终,怀尔斯选择了他在普林斯顿大学数学系的同事凯兹教授。经过一段时间的合作交流,科里瓦金-弗莱切方法的有效性也得到了凯兹的肯定。

1993年6月21日至23日,怀尔斯在剑桥大学牛顿数学所以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题分三次做了演讲,他的演讲表述的结果表明了:对有理数域上有“半稳定”的椭圆曲线谷山-志村猜想成立,而弗雷曲线恰好属于这一大类曲线。而这一结果也实际上证明了费马大定理。

这自然引起了不小的轰动,正当媒体与公众还沉浸在这巨大的事件中时,数学界开始了紧张的审查工作。由于这篇长达200多页的论文涉及多个数学分支和大量数学工具,德国《数学创造》杂志主编要求6人对论文的6个章节分别进行审核,而负责第三章的正是凯兹。在论文的审查期间,怀尔斯多次回答审查人员提出的问题,直到欧拉系的构造问题。该问题的解决使得怀尔斯一度绝望,甚至想过放弃,宣布证明失败。怀尔斯向好友萨那克诉说自己面临的压力和处境,得到萨那克的建议:寻找一个信得过的人,再尝试一次弥补缺陷。于是怀尔斯邀请了剑桥大学讲师理查德·泰勒(怀尔斯论文的6个审查人之一)到普林斯顿与他一起工作。终于在1994年9月19日,怀尔斯在检查科里瓦金-弗莱切方法的时候,突然再次想到岩泽理论。岩泽理论和科里瓦金-弗莱切方法相互结合,互相补足,彻底的解决了费马大定理。

从费马大定理的提出到热尔曼给出新思路,出现新曙光;再到库默尔确认当时的数学工具是缺乏的;最后伽罗瓦群论和里贝特证明了弗雷命题,促使怀尔斯有信心决定“单打独斗”,当然这并非绝对单打独斗。费马大定理确实是够传奇,牵动了数学界的顶级数学家的心弦。

启示

事件已经过去多年了,了解过后还是给了我很大的震撼,跟给了我很大的启发。我们的社会早就进入的高速的知识增长、爆炸时代,而我们的教育是以知识的积累为目的的,不敢说直接淘汰这种教育,但重新审视和改革是必须的。

知识的爆炸增长是全面覆盖的,数学自然也不例外。很多年前就有人做过粗略统计说,数学界一年发表的定理高达20万余条,当然这其中大部分的定理都会是无人问津的。

数学的分支庞杂,每个分支深入研究后都能占据一个人有限的时间和精力,而对于大多数人来说最具创造力的时光也非常有限。有人说庞加莱是最后一个数学全才;也有人说从希尔伯特之后,再也没有能系统掌握数学的大师人物了;无论如何,现在很少有人能较全面的掌握数学,或者说在多个领域站到前沿。肯定不是现在的人比一两百年前的人笨了,而是数学发展了、丰富了、更抽象和公理化了,想要进入一个领域的门槛,要学习的东西比之前要多的多。

对于目前数学的重大发展能够持续进行,个人以为应该有以下几个途径:

第一,人的认知水平和智商的提高。要知道知识的大爆炸也说明一点,那就是在这之前,人类从来都没有处理过如此多的信息,很难说人类的大脑就能胜任这些工作。从感官认知的角度来讲,因为有眼睛,我们能见;因为有耳朵,我们能听;等等。单就说眼睛,也只是对可见光产生视觉,因此也很难想象能看到更多波段光的眼睛,会看到什么样的多彩世界?然而我们却又不得不借助我们的感官来认识世界。就比如在狗的视野里,世界是黑白的,即便是看到红色的花;那在人类的视觉看来,花是红色的就是客观的吗?因为有着对应的器官,产生了相应的感官体验。那么有没有什么知觉是我们人类所没有的,或者经过万年的进化会不会产生新的器官和能力,来辅助认知?如果再单说人类大脑处理问题的能力能够量化,那么想必每个人的这个指标是不同的,那作为整体种群来讲这种指标的增长就应该是有原因的,历史上的远古人类的大脑效率应该是比现代人低的,那么未来人比现代人呢?没错儿,有人想到了一个词“进化”,那推动进化速度的自然就是生产实践,而短期爆炸式产生的知识以及人脑对知识的理解、加工和运用等能动作用,是提升人类大脑能力的主要因素。

第二,数学课题是有好坏的,因此数学问题的研究是需要有选择的,并非所有问题都值得研究。这种观点也被很多的数学大师所认同。因此,能够判断什么样的数学问题值得花费时间、精力去研究就是一个重要的素质。在个人有限的时间、精力的限制下,选择适合自己和有价值的数学问题才是聪明的选择。当然了,历史上有不少的数学家在对一些问题进行探讨的时候仅仅是凭借着兴趣,甚至都不考虑有什么意义。然而尴尬的事情是,在没有深入研究时,根本就不知道费马大定理的价值和意义。就像费马大定理,很长一段时间内都是一个孤立的问题,高斯就认为这是一个意义不大的问题。现在我们看到了费马大定理绝不是一个孤立的问题,而且其证明的过程中大大的丰富和发展了数学的理论和方法,产生的影响是不可估量的。

第三,数学的交流是必不可少的。因为每个人的知识背景和结构是有区别的,丰富的数学内容更是加大了数学家的工作难度,使得对数学对象之间的联系更难把握。就如怀尔斯在使用归纳法证明猜想而一筹莫展的时候,由于参加学术会议从导师科茨那了解到新的有效方法;在文稿完成后,由于自己的数学知识欠缺,找到同时凯兹帮助审查;而在剑桥大学牛顿数学所演讲后,多人对其手稿进行了审查,并发现严重缺陷,以及缺陷的补足都是得到了泰勒等人的帮助。

第四,对现有知识和方法的充分了解和掌握是解决问题的基石。要说怀尔斯与他人的沟通给了他至关重要的帮助,想必怀尔斯本人也不否认。但我认为更重要的是,在这之前的热尔曼、拉梅、库默尔、法尔廷斯、弗雷和谷山丰等人的努力同样的不可磨灭,因为已知现有的知识或方法工具,在恰当的联系后也能显示其巨大的威力,产生出深刻的结果。就如模形式理论是数论、几何与函数论交叉的分支,而弗雷的工作把谷山-志村猜想和费马大定理联系起来,至此才有了怀尔斯的工作,要知道怀尔斯研究领域虽然是椭圆曲线,但他并没意识到这和费马大定理能有什么关联。目前的学科交叉,产生了丰富的课题,这要求人们在了解现有成果的同时,必须与其他的学者进行交流。

第五,丰富的想象力或者直观的形象思维也是不可缺少的。要知道费马给出的猜想,就是一个开端。而这种开端就是通过一些直观思维给出的结果,此时是不用考虑用严密的逻辑去论证的,然而这却是很多数学工作的开端。这种形象思维或直觉能力多用于数学研究的最初阶段,而我们的教育却从来都是确实这种形象思维的训练的。

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