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著名的循环不等式:W.Janous不等式

初中笔记 huijiaorz 47℃ 0评论

不等式名家Janous于1991年,在加拿大数学杂志Crux Math第17期上提出一个关于循环不等式的著名猜想,即本文将要介绍的简洁优美的W.Janous不等式。而作为数学难题刊登在《数学通讯》1992年第4期上。目前该不等式的证明方法和推广已经至少有几十种之多了。

W.Janous不等式

设$x,y,z$为正数,求证:$$\frac{z^2-x^2}{x+y}+\frac{x^2-y^2}{y+z}+\frac{y^2-z^2}{x+z}\geq 0$$

证明一:所证不等式等价于$$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}\geq\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}$$

不妨设$x\leq y\leq z$,则有$$x^2\leq y^2\leq z^2\\x+y\leq x+z\leq y+z\\\frac{1}{x+y}\geq\frac{1}{x+z}\geq\frac{1}{y+z}$$

所以$$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}=z^2\cdot\frac{1}{x+y}+x^2\cdot\frac{1}{y+z}+y^2\cdot\frac{1}{x+z}$$

为顺序和。

而$$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}=x^2\cdot\frac{1}{x+y}+y^2\cdot\frac{1}{y+z}+z^2\cdot\frac{1}{x+z}$$

为一乱序和。

由排序不等式可知所证成立。

证明二:设$x+y=a,y+z=b,x+z=c$,则$$x=\frac{1}{2}(a-b+c)\\y=\frac{1}{2}(a+b-c)\\z=\frac{1}{2}(b+c-a)$$

代入原不等式化简得$$\frac{(b+c-a)^2-(a+c-b)^2}{4a}+\frac{(a+c-b)^2-(a+b-c)^2}{4b}+\frac{(a+b-c)^2-(b+c-a)^2}{4c}\geq 0$$

也即$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$$

而由$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c\\\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2b\\\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$$

三个不等式叠加得$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$$

故原不等式成立。

应用实例

$a,b,c$是正数,求证:$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{1}{2}(a+b+c)$$

证明:由W.Janous不等式易知$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\frac{a^2}{a+b}\\\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}\frac{b^2}{a+b}$$

两个不等式相加得
$$\begin{aligned}\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}\frac{c^2}{a+b}&\geq\frac{1}{2}(\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\frac{a^2+b^2}{a+b})\\&=\frac{1}{4}[\frac{2b^2+2c^2}{b+c}+\frac{2a^2+2c^2}{a+c}+\frac{2a^2+2b^2}{a+b}]\\&\geq\frac{1}{4}[\frac{b^2+c^2+2bc}{b+c}+\frac{a^2+c^2+2ac}{a+c}+\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b}]\\&=\frac{1}{4}[(b+c)+(a+c)+(a+b)]\\&=\frac{1}{2}(a+b+c)\end{aligned}$$

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