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蝴蝶定理及广义蝴蝶定理的解析几何方法证明

数学心得 huijiaorz 61℃ 0评论

蝴蝶定理最先出现于1815年的《先生日记》或译为《男士日记》,只是定理还没有“蝴蝶定理”这一名称。“蝴蝶定理”这个优雅美丽的名字首次出现在《美国数学月刊》1944年2月号【1】发表的问题解答中作为标题,之后被沿用至今。其中《先生日记》还收录两个解法:一个是由W.G.霍纳提供;另一个是理查德·泰勒提供。在这之后又有不少人给出了不少的解答。

本文介绍的解析几何方法源自萨蒂亚纳拉亚纳的文章《蝴蝶问题的一种简单证法》,作者引入了退化曲线概念,不但证明了经典的关于圆的蝴蝶定理,而且证明了对于常态圆锥曲线的推广定理。他的这一结果发表在《数学难题》上。

蝴蝶定理

通过圆的弦AB的中点M作另外两条弦CD和EF,再做ED和CF,分别交AB于P和Q。证明:$PM=MQ$

证明:设$\Gamma_1$是已知圆。引进直角坐标系,使原点为M,x轴为AB,y轴为MO,其中$O(0,d)$是圆心。设圆半径为r,则其方程为$$\sum\nolimits_1\equiv x^2+(y-d)^2-r^2=0$$

直线CD和EF通过原点,它们组成一条退化圆锥曲线$\Gamma_2$,其方程形如$$\sum\nolimits_2\equiv ax^2+2hxy+by^2=0$$

现在对于任意$k,l$有$$\sum\equiv k\sum\nolimits_1+l\sum\nolimits_2$$

表示一条圆锥曲线$\Gamma$,它通过$\Gamma_1$和$\Gamma_2$的交点,即通过$C、D、E、F$,并且每条通过$C、D、E、F$的圆锥曲线都能表示成这种形式。

设圆锥曲线$\sum=0$交AB于V和W。AB的方程是y=0,并且$$\begin{aligned}\sum\nolimits_1(x,0)&=x^2+d^2-r^2\\\sum\nolimits_2(x,0)&=ax^2\end{aligned}$$

所以V和W的横坐标是方程$\sum(x,0)=0$的根,即下述方程的根:$$k(x^2+d^2-r^2)+lax^2=0$$

因为这个方程不含一次项,其两根之和为0,所以$\overrightarrow{MV}+\overrightarrow{MW}=0$,因而$$VM=MW$$

$VM=MW$对所有通过$C、D、E、F$的圆锥曲线都成立,而一对直线ED,CF是这样一条圆锥曲线,所以从$VM=MW$推出$PM=MQ$,证毕。

备注:一对直线CE、DF也组成一条通过$C、D、E、F$的圆锥曲线。如果这两条直线交AB于$P^\prime$和$Q^\prime$,如下图所示,那么从上述证明中的$VM=MW$可推得$P^\prime M=MQ^\prime$

广义蝴蝶定理

通过常态圆锥曲线$\Gamma_1$的弦AB的中点M作另外两条弦CD和EF。过C、D、E、F作一条圆锥曲线$\Gamma$,交AB于V和W。证明:$VM=MW$

证明:引进直角坐标系,使原点为M,x轴为AB。可设常态圆锥曲线$\Gamma_1$的方程为$$\sum\nolimits_1\equiv Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$$

直线CD和EF通过原点,它们组成一条退化圆锥曲线$\Gamma_2$,其方程形如$$\sum\nolimits_2\equiv ax^2+2hxy+by^2=0$$

对于任意k,l有$$\sum\equiv k\sum\nolimits_1+l\sum\nolimits_2$$

所以$$\sum(x,0)=k(Ax^2+2Gx+C)+lax^2$$

设A和B的坐标分别是$(-\alpha,0),(\alpha,0)$,那么$$\sum\nolimits_1(-\alpha,0)=\sum\nolimits_1(\alpha,0)=0$$

蕴涵着$G=0$;因此方程$\sum(x,0)=0$不含一次项。

再由方程$\sum(x,0)=0$不含一次项,知圆锥曲线$\Gamma$与AB的交点V和W的横坐标之和为零,即$\overrightarrow{MV}+\overrightarrow{MW}=0$,因而$$VM=MW$$

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