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21世纪的“千年难题”

数学史 huijiaorz 146℃ 0评论

2000年5月24日,在巴黎法兰西学院(College defrance)的演讲大厅,世界著名的英国数学家阿蒂亚(Michael Atiyah)爵土和美国数学家泰特(John Tate)宣布,对首先解决七个最困难的悬而未决的数学问题中任何一个的人或团体将授予100万美元的奖金。他们说,这些问题从此将被称为“千年难题”(Millennium Problems)。这700万美元的奖金—每个问题100万美元,解答在时间上没有限制—是由一位富有的美国共同基金投资公司巨头和业余数学爱好者克莱捐赠的。

1900年巴黎的第二届国际数学家大会,德国数学家希尔伯特(David Hilbert)—数学领域中的一位国际领袖,应邀发表演讲,他在演讲中提出了一个 20世纪数学的议程表。希尔伯特列举了他判定为数学中意义最重大的23个未解决难题。它们随后被称为“希尔伯特问题是指引数学家近向未来的灯塔。

黎曼假设

这是1900年希尔伯特列出的问题中唯个至今还未解决的问题。全世界的数学家都认为这个关特定方程之可能解的看上去晦涩难懂的问题,是数学中意义最重大的未解决难题。

1859年,德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)试图回答数学中最古老的问题之一:如果素数在全体计数数中的分布具有一定的模式,那么这个模式是什么?在这个过程中,他提出了这个假设。大约公元前350年,著名的希腊数学家欧几里得(Euclid)证明了素数是无穷尽的,即存在无穷多个素数。此外,由观察可知,当你向大整数方向行进时,素数好像越来越“稀疏”、越来越少见了。但是你能说得比这更多些吗?正如我们将在第一章中看到的,答案是肯定的。黎曼假设的证明将加深我们对素数和对描述素数的方法的理解。它远远不只是满足数学家的好奇心。此外,它在数学中的影响远远超过了素数的分布模式。它还将在物理学和现代通信技术中产生影响。

杨-米尔斯理论和质量缺口假设

数学发展的许多动力来自科学,特别是来自物理学。例如,由于物理学的需要,17世纪数学家牛顿(Isaac Newton)和莱布尼茨(Gottfried leibniz)发明了微积分。通过为科学家提供了描述连续运动的一种数学上的精确方法,微积分彻底改变了科学。虽然牛顿和莱布尼茨的方法奏效了,但人们大约花了250年的时间才使微积分背后的数学得以严格地建立起来。今天,在过去大约半个世纪以来发展起来的物理学的某些理论中,存在着类似的情况。这第二道千年难题向数学家发出再次赶上物理学家的挑战。

杨米尔斯方程来自于量子物理学。大约50年之前,物理学家杨振宁和米尔斯(Robert Mills)在描述除引力之外所有的自然力时建立了这些方程。他们做了一项杰出的工作来自这些方程的预测描述了在世界各地实验室中观察到的粒子。虽然从实践的角度说杨-米尔斯理论成功了,但它作为一个数学理论却还没有研究出来。在某种程度上,这第二道千年难题是要求从公理开始,补上这个理论的数学发展。这种数学将必须符合一些在实验室中已被观察到的情况。特别是,它将(在数学上)确定“质量缺口假设”,这涉及杨一米尔斯方程的假设存在的解。这个假设已被大多数物理学家接受,它提供了电子为什么有质量的一种解释。质量缺口假设的证明被看作是对杨米尔斯理论的数学发展的一个极好的检验。它同时也使物理学家受益。他们都不能解释电子为什么有质量;他们仪仅观察到它们有质量。

P对NP问题

这是唯一一个关于计算机的千年难题。许多人将认为这一点很令人意外。“毕竟,”他们会问,“现在大多数数学问题不都是在计算机上做的吗?”不,事实上不是。的确绝大多数数值计算是在计算机上完成的,但是,数值计算仅仅是数学的很小一部分,而不是数学的主要部分。

虽然电子计算机出自于数学一在20世纪30年代,首台计算机建成之前数年,有关数学的最后部分被解决—但计算机领域迄今仅仅产生了两个值得包含在世界最重大问题之中的数学问题。这两个问题涉及的计算是作为概念上的过程而不是任何特殊的计算设备,然而这不妨碍它们对真正的计算发挥重要的影响。希尔伯特把它们中的一个作为第10个问题写在他的1900年列表上。这个问题在1970年被解决,它要求证明某类方程不能由计算机解出。

接下来的一个问题是最近提出的。这个问题是关于计算机解决问题的效率的。计算机科学家把计算间题分成两种主要类型:P类型任务能在计算机上有效地处理;E类型任务可能要花费儿百万年去计算。遗憾的是,绝大多数出现在工业和商业中的大型计算任务属于第三类—NP类型,它似乎是P和E的中间类型。但是它是这样吗?NP是否仅仅是一种伪装的P类型?大多数专家相信NP与P是不相同的(即NP类型的计算任务与P类型的任务并不相同)。但是经过30年努力之后,没有人能够证明NP与P是否相同。一个肯定的解答将对工业,商业和电子通信包括万维网产生重大的影响。

纳维-斯托克斯方程

纳维斯托克斯方程描述了流体和气体的运动—如船体周围的水或飞机机翼上方的空气。它们是一种数学家所谓的偏微分方程。学科学和工程的大学生照例罢学习如何求解偏微分方程,而纳维斯托克斯方程看上去就像大学做积分课本中作为练习给出的方程。但外表是有欺骗性的。直到现在,任何人都没有线索来找出这些偏微分方程的求解公式—即使这样的公式是存在的。

这个失败并没有妨碍船舶工程师设计出高效的船舶,也没有妨碍航空工程师制造出性能较好的飞机。虽然没有求解方程的一般公式(比方说,就像二次方程求根公式那样的一般公式),设计高性能船舶和飞机的工程师可以用计算机以某种近似方法求解这些方程的特例。像杨米尔斯问题一样纳维-斯托克斯问题是数学家要赶上其他人所做事的另一种情况—这儿是赶上工程师。

赶上”的说法可能给人这样的印象,即某些问题是重要的仅仅是刈那些不愿意被甩在后面的数学家的自尊心而言的。但是这样的想法会误解科学知识发展的方式。由于数学的抽象性,关于一个现象的数学知识通常代表了对它的最深刻和最可靠的理解。对事物理解得越深刻,我们就越能更好地利用它。正如质量缺口假设的数学证明将是物理学上的一个重要进展,纳维斯托克斯方程的解出将同样几乎背定导致船舶和航空工程的进展。

庞加莱猜想

这个问题是在大约一个世纪之前由法国数学家庞加莱(Henri poincare)首次提出的。它开始于一个看起来很简单的问题:你怎样才能把一个苹果和一个炸面圈区别开来?是的,这好像不是一个导致获得100万美元的数学问题。使它变得困难的是,庞加莱要求一个能在更一般情况中采用的数学回答。这样就排除了许多明显的解决方法,比如只要把每一个都咬一口。下面是庞加莱自己对这个问题的回答。如果你在一个苹果的表面绷上一根橡皮带子,你就能通过慢慢地移动它,不扯断它,也不让它离开表面,而将它收缩成一点。另一方面,请你想象把同样一根橡皮带子以某种方式紧绷在炸面圈的适当位置上,然而不存在一种方法,在既不弄断橡皮带子也不弄破炸面圈的情况下使它收缩成为点。令人惊讶的是,当你问同样这个橡皮带思想能否区分苹果和炸面圈的四维类似物——这才是庞加莱真正要探寻的——时,竟然没有人能够给出回答。庞加莱猜想是说橡皮带思想确实能识别出四维苹果。

这个问题位于当今数学最迷人的分支之一—拓扑学的中心。除了它的内在的而且有时是怪异的魅力—例如,它告诉你一些深刻而基本的方式,在这些方式中,炸面圈与咖啡杯是一回事—之外,拓扑学在数学的许多领域中都有应用
这一学科中取得的进展对硅芯片和其他电子器件的设计和制造,对运输业,对理解大脑,甚至对电影工业都有影响。

伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想

随着这个问题,我们回到了与黎曼假设同样的数学领域。自从古希腊时代以来,数学家一直在致力于求出像$$x^2+y^2=z^2$$这样关于整数$x,y$的代数方程的所有解的问题。

对这个特定的方程,欧几里得给出了完整的解答一也就是说,他发现了一个能产生所有解的公式。在1994年,怀尔斯证明对任何大于2的指数n,方程没有非零整数解。(这个结果被称为费马人定理)但是对更加复杂的方程,要弄清是否存在解或者是什么样的解,就变得极其困难了。伯奇和斯温纳顿-藏尔猜想提供了关于某些困难情况下的可能解的信息。

正如同它有关联的黎曼假设一样,对这一问题的解答将增加我们对素数的全面理解。在数学之外它是否比较有影响还不清楚。对伯奇和斯温纳顿戴尔猜想的证明可能仅仅对数学家是重要的。

另一方而,把这个问题或任何数学问题归入“没有实际用处”是愚盘的。不可否认,在“纯数学”的抽象问题上进行研究的数学家的工作热情诵常更多地是由好奇心而不是由实际效用所激发的。但是纯数学上的发现一次又一次地被证实有着重要的实际应用况且,数学家为解决某一问题而研究出来的方法往往被证实对一些完全不同的问趣具有应用。怀尔斯对费马大定理的证明,完全就是这种情况。同样,对伯奇和斯温纳顿戴尔猜想的一个证明几乎背定会涉及将来被发现有其他用处的新思想。

霍奇猜想

这是另一个关于拓扑学的“失落的一角”“问题。从总体上说,这个问题是关于复杂的数学对象如何能由较简单的对象构成。在所有的千年难题中,这或许是非专业人士最难于理解的问题了。与其说是因为这个问题的内在直观性比其他问题更加隐晦或者据认为它比其他六个问题更困难,倒不如说霍奇猜想是与数学家对某些抽象对象进行分类的技能有关的高度专业化问题。它从这门学科的深处产生,处于高度抽象的水平上,理解它的唯一方法是通过那些抽象程度逐渐增加的各个的层次。这就是为什么我把这个问题放在了最后。

通向这个猜想之路始于20世纪上半叶。当时数学家发现了研究复杂对象形状的有力方法。基本的想法是把维数逐渐增加的简单几何砌块黏合在一起,来逼近一个给定对象的形状,问题是你能逼近到什么程度。这个技术原来是如此有用,以至于它以许多不同的方式被推广,最终导致了使数学家能对许多不同种类的对象进行整理分类的有力工具。遗憾的是,这种推广模糊了这个过程的几何源头。数学家必须加上去的部件又没有一点几何解释。霍奇猜想断言,对于这些对象中的一类重要对象(称作射影代数簇),被称作霍奇闭链的部件不过是几何部件(称作代数闭链)的组合。

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