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著名的23个希尔伯特问题

数学史 huijiaorz 83℃ 0评论

1900年8月在巴黎召开的第二届国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演,演讲中描述了他认为至关重要的10个以连续统假设的证明为首的数学问题。而到问题清单发表时,他又根据过去的十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个希尔伯特问题受到了极大的关注,对现代数学的研究和发展产生了积极深刻的影响,甚至一定程度上引导了20世纪数学的发展方向。希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。希尔伯特是继庞加莱之后的数学领军人物,其数学兴趣异常广泛,一生都对基础性问题保持着热情和兴趣,数学上的工作因此极具深度和广度。因此对23个问题简单的分一类如下。

数学基础问题

(1)康托的连续统基数问题。1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科恩(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。

(2)算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 德思(M.Dehn)1900年已解决。

(4)两点间以直线为距离最短线问题。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。

(5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953 年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

(6)对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。然而公理化能否渗透到物理学的各个分支还是个疑问。

数论问题

(7)某些数的超越性的证明。 需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935 年分别独立地证明了其正确性。目前,超越数理论还远未完成,如超越数的一般判定方法。

(8)素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。

(9)一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

(10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解? 求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。

(11)一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。

(12)类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。

代数与几何问题

(13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。七次方程$x^7+ax^3+bx^2+cx+1=0$的根依赖于3个参数$a、b、c;x=x(a,b,c)$。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在$[0,1]$上连续的实函数$f(x_1,x_2,x_3)$可写成形式$$\sum h_i(\xi_i(x_1,x_2),x_3)\quad(i=1,2,\cdots,9)$$其中$h_i$和$\xi_i$为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明$f(x_1,x_2,x_3)$可写成形式$$\sum h_i(\xi_{i1}(x_1)+\xi_{i2}(x_2)+\xi_{i3}(x_3))\quad(i=1,2,\cdots,7)$$这里$h_i$和$\xi_{ij}$为连续实函数,$\xi_{ij}$的选取可与$f$完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。

(14)某些完备函数系的有限的证明。即域$K$上的以$x_1,x_2,\cdots,x_n$为自变量的多项式$f_i(i=1,\cdots,m),R$为$K[X_1,\cdots,X_m]$上的有理函数$F(X_1,\cdots,X_m)$构成的环,并且$F(f_1,\cdots,f_m)\in K[x_1,\cdots,x_m]$试问$R$是否可由有限个元素$F_1,\cdots,F_N$的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

(15)建立代数几何学的基础。荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,魏依1950年已解决。注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

(16)代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备$\frac{dx}{dy}=\frac{Y}{X}$的极限环的最多个数$N(n)$和相对位置,其中$X、Y$是$x、y$的$n$次多项式。对$n=2$(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到$N(2)\geq 1$;1952年鲍廷得到 N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布$N(2)\leq3$,这个曾震动一 时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了$n=2$的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且$(!,3)$分布,但证明有误,至今二次系统的问题尚未解决。

(17)半正定形式的平方和表示。实系数有理函数$f(x_1,\cdots,x_n)$对任意数组$(x_1,\cdots,x_n)$都恒大于或等于0,确定$f$是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。

(18)用全等多面体构造空间。德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。

数学分析问题

(19)正则变分问题的解是否总是解析函数? 德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。

(20)研究一般边值问题。此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支。目前还在继读发展。

(21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。

(22)用自守函数将解析函数单值化。此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

(23)发展变分学方法的研究。这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

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