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卡尔松不等式

数学心得 huijiaorz 36℃ 0评论

也称矩阵长方形不等式:$m\times{n}$的非负实数矩阵中,$n$列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中$m$行每行元素的几何平均值之和。即$$ \begin{array}{l}{\sqrt[n]{\left(a_{11}+a_{21}+\cdots+a_{m 1}\right)\left(a_{12}+a_{22}+\cdots+a_{m 2}\right) \cdots\left(a_{1 n}+a_{2 n}+\cdots+a_{m n}\right)}} \\ { \geq \sqrt[n]{a_{11} a_{12} \cdots a_{1 n}}+\sqrt[n]{a_{21} a_{22} \cdots a_{2 n}}+\dots+\sqrt[n]{a_{m 1} a_{m 2} \cdots a_{m n}}}\end{array}$$

其中$m\times{n}$的非负实数矩阵$$ A=\left[ \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}\end{array}\right]$$

等号成立的条件是至少一列完全为0或所有的行中的数成比例;$n=2$时即为柯西不等式。

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