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圆周率是超越数的证明

分析笔记 huijiaorz 153℃ 0评论

1882年林德曼在埃米尔特所证:$e$为超越数的基础上,借助于欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$证明了$\pi$的超越性。证明了$\pi$的超越性自然就证明了圆周率必定是无理数,而其另一个证明方法可以参考:http://www.jjmath.com/archives/489

定理:(林德曼 Lindemann) $\pi$是超越数

证明:由于$i$是代数数,又由于两代数数之积及商仍为代数数,可知$\pi$与$i\pi$或均为代数数,或均为非代数数。所以只需证明$i\pi$为非代数数即可。

假设$i\pi$满足$$f(x)=ax^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0,\quad a>0$$

则$ai\pi$满足$$a^{m-1}f(\frac{x}{a})=x^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0$$

又因为$i\pi$与$ai\pi$同为代数数或非代数数。现证明$ai\pi$满足某一代数方程$P(y)=0$是不可能的。此处$$P(y)=y^m+K_{m-1}y^{m-1}+\cdots+K_0=0$$

命$$P(y)=\prod_{h=1}^m(y-a\alpha_h)$$

因为$1+e^{i\pi}=0$,故只需证明$$R=\prod_{h=1}^m(e^0-e^{\alpha_h})\neq 0$$

而$$R=C+e^{\beta_1}+e^{\beta_2}+\cdots+e^{\beta_r}$$

其中$C$为$2^m$项中指数之和为零者之个数,而${\beta_1},\cdots,{\beta_r}$不为零。

命$p$为充分大的素数,如$$p>max(C,a,\prod_{h=1}^ra|\beta_h|)$$

令$$f(x)=\frac{(ax)^{p-1}\prod_{h=1}^r(ax-a\beta_h)^p}{(p-1)!}=\sum_{k=0}^na_kx^k$$

可得$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{A_{p-1}x^{p-1}+A_px^p+\cdots}{(p-1)!}\\&=\frac{r_{p,h}(x-\beta_h)^p+r_{p-1,h}(x-\beta_h)^{p+1}+\cdots}{(p-1)!}\end{aligned}$$

式中$A$为$a\beta_1,\cdots,a\beta_r$的对称函数,故也为$a\alpha_1,\cdots,a\alpha_h$的对称函数,故为有理数。

由$f(x)$使用引理可作$F(x)$和$Q(x)$,则有$$\begin{aligned}F(0)R&=F(0)(C+\sum_{h=1}^re^{\beta_h})\\&=CF(0)+\sum_{h=1}^rF(\beta_h)+\sum_{h=1}^rQ(\beta_h)\end{aligned}$$

其中$$CF(0)=C(A_{p-1}+pA_p+\cdots)$$

为一有理数,但非$p$的倍数,又
$$\begin{aligned}\sum_{h=1}^rF(p_h)&=\sum_{h=1}^r(pr_{p,h}+p(p+1)r_{p+1,h}+\cdots)\\&=p\sum_{h=1}^rr_{p,h}+p(p+1)\sum_{h=1}^rr_{p+1,h}+\cdots\\&=pC_p+p(p+1)C_{p+1}+\cdots\end{aligned}$$

其中$C,C_{p+1},\cdots$为$a\beta,\cdots,a\beta_r$的对称函数,故为有理数。

故而$\sum_{h=1}^rF(\beta_h)$为$p$的倍数。因而$$|CF(0)+\sum_{h=1}^rF(\beta_h)|\geqslant 1$$

另一方面,同样有$$\begin{aligned}|Q(\beta_h)|&\leqslant e^{|\beta_k|}\sum_{m=0}^n|a_m|\cdot |\beta_h|^m\\&\leqslant e^{|\beta_h|}\frac{a|\beta_h|^{p-1}\prod_{k=1}^r(a|\beta_h|+a|\beta_k|)^p}{(p-1)!}\\&=O(\frac{1}{p})\end{aligned}$$

故有$$\sum_{h=1}^rQ(\beta_h)=O(\frac{1}{p})\rightarrow 0,\quad p\rightarrow\infty$$

所以,若$R=0$,有$$0=F(0)R=CF(0)+\sum_{h=1}^rF(\beta_h)+\sum_{h=1}^rQ{\beta_h}$$

而这构成矛盾,因为前二项之和绝对值比1大,而后一项是一个无穷小量。从而肯定$\pi$是超越数。

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