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自然对数的底数e为超越数的证明

分析笔记 huijiaorz 136℃ 0评论

刘维尔于1840年证明了$e$为非二次代数数,时隔33年后的1873年埃米尔特证明了$e$是超越数。$e$是超越数当然也必定是无理数。而对于$e$为无理数的另一个证明可参考:http://www.jjmath.com/archives/544

引理

命$$f(x)=\sum_{m=0}^na_mx^m\\F(x)=\sum_{k=0}^nf^{(k)}(x)\\F(0)e^x-F(x)=Q(x)$$

则$$|Q(x)|\leqslant e^{|x|}\sum_{m=0}^n|a_m|\cdot|x|^m$$

证明:有恒等式$$\begin{aligned}F(x)&=\sum_{k=0}^n\sum_{m=k}^na_m\frac{m!}{(m-k)!}x^{m-k}\\&=\sum_{m=0}^na_m\sum_{k=0}^m\frac{m!}{(m-k)!}x^{m-k}\\&=\sum_{m=0}^na_m\sum_{k=0}^m\frac{m!}{k!}x^k\end{aligned}$$

故有$F(0)=\sum_{m=0}^na_mm!$,因此
$$\begin{aligned}|Q(x)|&=|F(0)e^x-F(x)|\\&=|\sum_{m=0}^na_m\sum_{k=0}^\infty\frac{m!}{k!}x^k-\sum_{m=0}^na_m\sum_{k=0}^m\frac{m!}{k!}x^k|\\&=|\sum_{m=0}^na_m\sum_{k=m+1}^\infty\frac{m!}{k!}x^k|\\&\leqslant\sum_{m=0}^n|a_m|\sum_{k=m+1}^\infty\frac{|x|^k}{(k-m)!}\\&=\sum_{m=0}^n|a_m|\cdot|x|^m\sum_{l=1}^\infty\frac{|x|^l}{l!}\\&\leqslant e^{|x|}\sum_{m=0}^n|a_m|\cdot|x|^m\end{aligned}$$

e是超越数

埃米尔特(Hermite)首先证明$e$是超越数。

证明:假设$e$为代数数,它满足某代数方程$P(x)=0$,其中$$P(x)=\sum_{h=0}^mg_hx^h,\quad g_0\neq 0,m>0$$

而系数$g_h(h=0,1,2,\cdots,m)$为有理整数。

命$p$为充分大的素数$$p>max(m,|g_0|)$$

又命$$f(x)=\frac{x^{p-1}\prod_{h=1}^m(h-x)^p}{(p-1)!}=\sum_{k=0}^na_kx^k$$

其中$a_k=a_k(p) (k=0,1,2,\cdots,n),n=(m+1)p-1>p$,由于$h$是$f(x)=0$的$p$重根,故$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{(m!)^px^{p-1}+A_px^p+\cdots}{(p-1)!}\\&=\frac{B_{p,h}(x-h)^p+B_{p-1,h}(x-h)^{p+1}+\cdots}{(p-1)!}\end{aligned}$$

其中$A,B$均为有理数,由此$f(x)$按引理中的$F(x),Q(x)$有$$\begin{aligned}0&=F(0)P(e)=F(0)\sum_{h=0}^mg_he^h\\&=\sum_{h=0}^mg_h(F(h)+Q(h))\tag{1}\end{aligned}$$

再有$$\begin{aligned}\sum_{h=0}^mg_hF(h)&=g_0\sum_{k=0}^nf^{(k)}(0)+\sum_{k=1}^ng_k\sum_{k=0}^nf^{(k)}(h)\\&=g_0((m!)^p+pA_p+\cdots)\\&\quad +\sum_{k=1}^mg_k(pB_{p,h}+p(p+1)B_{p+1,h}+\cdots)\end{aligned}$$

也为有理数,上式右边除$p\nmid g_0(m!)^p$外,其余各项皆为$p$之倍数,故$$|\sum_{h=0}^mg_hF(h)|\geqslant 1\tag{2}$$

再看$Q(h)$,有引理$$|Q(h)|\leqslant e^{|h|}\sum_{m=0}^n|a_m|\cdot|h|^m$$

另方面由$$f(x)=\frac{x^{p-1}\prod_{k=1}^m(h-x)^p}{(p-1)!}=\sum_{k=0}^na_kx^k$$

易知$$\frac{|x|^{p-1}\prod_{h=1}^m(h+|x|)^p}{(p-1)!}\geqslant\sum_{k=0}^n|a_k|\cdot|x|^k$$

故而有$$|Q(h)|\leqslant e^{|h|}\frac{|x|^{p-1}\prod_{t=1}^m(t+|x|)^p}{(p-1)!}=O(\frac{1}{p})\\\sum_{k=0}^mg_h\cdot Q(h)=\sum_{k=0}^mg_k\cdot O(\frac{1}{p})=O(\frac{1}{p})\rightarrow 0\tag{3}$$

当$p$充分大时$\sum_{k=0}^mg_h\cdot Q(h)$很小。结合(2)和(3)即得与(1)矛盾,从而肯定$e$为超越数。

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