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数学研究允许从不严谨出发:勒让德的联想

初中笔记 huijiaorz 232℃ 0评论

联想是由一个事物或概念而想起另一个其他的事物、概念,它是一个非逻辑活动,得出的结果、想法不一定可靠。但它的作用是不可缺少的,对于新事物的发现有着不言而喻的重要作用。正是因为联想到的结果是不可靠的,自然是需要对其进行论证的。这有点像“欲加之罪何患无辞”,“想杀头,然后去定罪”。接下来,给出一个法国数学家勒让德的一个联想。再现数学家一些成果的获取过程,才是一个完整的学习过程。除了学习数学知识,非常的有必要学习到数学的发现过程,思维方法。

在18和19世纪数学家利用$$\operatorname{arctg}x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^{2n-1}}{2 n-1}+\cdots$$

来计算圆周率,出现了大量的结果。比如

  • 马丁公式:$$\frac{\pi}{4}=4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5}-\operatorname{arctg}\frac{1}{239}$$
  • 勒让德公式:$$\frac{\pi}{4}=4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5}-\operatorname{arctg}\frac{1}{70}+\operatorname{arctg}\frac{1}{99}$$
  • 高斯公式:$$\frac{\pi}{4}=12 \operatorname{arctg} \frac{1}{18}+8 \operatorname{arctg} \frac{1}{57}-5 \operatorname{arctg} \frac{1}{239}$$

这样的结果还有很多,而且上述高斯公式和勒让德公式都是在马丁公式的基础上给出的。从高斯关注到这类问题来讲,能够看出这应该是是当时的热点课题。接下来是勒让德的发现过程。当勒让德先生注意到马丁公式时,可能是对马丁公式中$\operatorname{arctg}\frac{1}{239}$感到不爽,意欲给一个替换。由$$\operatorname{arctg}\frac{1}{7}=\operatorname{arctg}\frac{1}{2}-\operatorname{arctg}\frac{1}{3}$$

获得灵感:是否存在两个整数$A,B$使得$$\operatorname{arctg}\frac{1}{239}=\operatorname{arctg}\frac{1}{B}-\operatorname{arctg}\frac{1}{A}$$

这一大胆的联想,起到了逢山看路、遇河架桥的作用。

接着就是逻辑上的检验。如若存在这样的$A,B$,那么上式两边取正切得$$\frac{1}{239}=\frac{\frac{1}{B}-\frac{1}{A}}{1+\frac{1}{B}\cdot\frac{1}{A}}=\frac{A-B}{AB+1}$$

令$$\left\{\begin{array}{l}{A-B=k}\\{AB+1=239k}\end{array}\right.$$

于是根据韦达公式,$A,-B$就是下面一元二次方程的两根$$x^{2}-kx+1-239k=0$$

判别式$$\begin{aligned}\Delta &=k^{2}-4(1-239 k)\\&=k^{2}+4\cdot 239k-4\end{aligned}$$

$A,-B$为整数,知判别式应该是完全平方数;再由$$A(or -B)=\frac{k\pm\sqrt{\Delta}}{2}$$

确定$\sqrt{\Delta}$与$k$具有相同的奇偶性。

最后就是寻找满足上述条件的$k$,即满足

  • 式子$\Delta=k^{2}+4\cdot 239k-4$是完全平方数
  • 两个数$\sqrt{\Delta}$与$k$具有相同的奇偶性

注意到完全平方数的个位数的规律,从而排除$k$的个位数不可能是1、2、3、6、7、8,这就大大缩小了范围。幸运的是,$k=29$时$$\Delta=k^{2}+4\cdot 239k-4=28561=169^2$$

此时$$A=\frac{29+169}{2}=99\\B=-\frac{29-169}{2}=70$$

于是得到了勒让德公式$$\frac{\pi}{4}=4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5}-\operatorname{arctg}\frac{1}{70}+\operatorname{arctg}\frac{1}{99}$$

从上面的过程中,可以看出公式的发现过程中仅仅用到了初等数学的知识。

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