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从布雷特-施奈德公式到广义托勒密定理

初中笔记 huijiaorz 758℃ 0评论

首先给出了一个引理,使用该引理证明一般四边形的面积公式——布雷特-施奈德公式。然后再使用布雷特-施奈德公式推导出广义托勒密定理,进而给出著名的托勒密定理。当然,还可以导出海伦公式以及共圆时的四边形面积公式。因此,布雷特-施奈德公式的威力还是很强大的啊。

引理

在任意四边形ABCD中,$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f$,AC交BD于P,∠APB=P,求证:$$2ef\cdot\cos P=-a^2+b^2-c^2+d^2$$

证明:记$AP=e_1,CP=e_2,BP=f_1,DP=f_2$,则$$\begin{aligned}ef\cdot\cos P&=2(e_1\pm e_2)(f_1+f_2)\cos P\\&=2e_1f_1\cos P+2e_1f_2\cos P\pm 2e_2f_1\cos P\pm 2e_2f_2\cos P\\&=e_1^2+f_1^2-a^2-(e_1^2+f_2^2-d^2)\\&-(e_2^2+f_1^2-b^2)+(e_2^2+f_2^2-c^2)\\&=-a^2+b^2-c^2+d^2\end{aligned}$$

而当D和A重合时,即$d=0,a=f,e=c$时,有$$2ac\cos(\pi-A)=-a^2+b^2-c^2$$

此式正是余弦定理了。

布雷特-施奈德公式

布雷特-施奈德公式是1842年由Bretschneide给出,这是一个关于四边形面积的公式:$$16S^2=4e^2f^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2$$

证明:假设四边形的面积为S(此处考虑凸四边形情形,其他情形类似),那么$$\begin{aligned}S&=S_\triangle{APB}+S_\triangle{BPC}+S_\triangle{CPD}+S_\triangle{DPA}\\&=\frac{1}{2}[e_1\cdot f_1\cdot\sin P+e_2\cdot f_2\cdot\sin P+e_1\cdot f_2\cdot\sin(\pi-P)+e_2\cdot f_1\cdot\sin(\pi-P)]\\&=\frac{1}{2}\sin P[e_1f_2+e_2f_2+e_1f_2+e_2f_1]\\&=\frac{1}{2}ef\cdot\sin P\end{aligned}$$

所以$$16 S^2=4e^2f^2\sin^{2}P=4e^2f^2-4e^2f^2\cos^{2}P$$

再由上式的引理可证得布雷特-施奈德公式:$$16S^2=4e^2f^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2$$

同样地,当D和A重合时,即$d=0,a=f,e=c$时,即可得到海伦公式。

事实上四边形的面积公式还有如下的形式(推导过程请参考《一般四边形的面积公式及其推广》):$$16S^2=4(b^2c^2+a^2d^2)-(a^2-b^2-c^2+d^2)^2-8abcd\cdot\cos(A+C)$$

这两个式子应该是等价的,读者可以尝试去推导一下。

广义托勒密定理

广义托勒密定理:在任意四边形ABCD中,$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f$,那么$$e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cdot\cos(A+C)$$

证明:结合布雷特-施奈德公式和另一个四边形面积公式:$$16S^2=4(b^2c^2+a^2d^2)-(a^2-b^2-c^2+d^2)^2-8abcd\cdot\cos(A+C)$$

消元后可得$$\begin{aligned}4e^{2}f^2=& 4b^{2}c^{2}+4a^{2}d^{2}+(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^2\\&-(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^2-8abcd\cdot\cos(A+C)\\=&4b^{2}c^{2}+4a^{2}d^{2}+2(a^{2}-b^{2})\cdot 2(c^{2}-d^{2})\\&-8abcd\cdot\cos(A+C)\\e^{2}f^{2}=&a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cdot\cos(A+C)\\=&(ac+bd)^2-2abcd[1+\cos(A+C)]\end{aligned}$$

托勒密定理

由$$e^2f^2=(ac+bd)^2-2abcd[1+\cos(A+C)]$$

可知$$ef=ac+bd \Longleftrightarrow A+C=\pi$$

明显地,这便是托勒密定理了,它是广义托勒密定理的一个特殊情况:四边形四点共圆。此时,还可根据布雷特-施奈德公式,给出共圆时的四边形面积为$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

其中$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

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