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使用极限定义证明极限问题

分析笔记 huijiaorz 243℃ 0评论

有些极限的问题可以通过极限的性质、运算规则,以及常用的重要极限来解决极限证明或求解。除此之外理解和掌握极限定义,依次证明极限问题是最基础的能力。

要证$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a$,按定义:$\forall\varepsilon>0,\exists N>0$,当$n>N$时,有$|x_n-a|<\varepsilon$

下面是数列极限的三种证明方式。

等价代换

该方法是找到上述最小的$N$。$\forall\varepsilon>0$,将绝对值不等式$|x_n-a|<\varepsilon$作等价代替,截得不等式得出$$n>N(\varepsilon)$$

其中$N(\varepsilon)$是关于$\varepsilon$的式子,然后令$N=N(\varepsilon)$,则$n>N$时,有$|x_n-a|<\varepsilon$

放大法

有时解不等式$|x_n-a|<\varepsilon$是有难度的,所以将表达式$|x_n-a|$化简、放大,得到一个新的式子$F(n)$使得$$|x_n-a|<F(n)$$

解不等式$F(n)<\varepsilon$,求得$n>N(\varepsilon)$,于是令$N=N(\varepsilon)$,当$n>N$时,有$|x_n-a|<\varepsilon$

分步法

对于更复杂的$|x_n-a|$,而且放大也较困难。可以直接考虑假定$n$已经足够大,例如足够大的一个数$N_1,n>N_1$时,$|x_n-a|$可化简放大成$$|x_n-a|<F(n)$$

解不等式$F(n)<\varepsilon$,求得$n>N(\varepsilon)$,则取$N=max\{N_1,N(\varepsilon)\}$,则当$n>N$时,有$|x_n-a|<\varepsilon$

对于函数极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x)=a$有类似的$\varepsilon-\delta$方法。当然还可以通过海涅规则,转化为讨论数列极限的问题。

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