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数学大师欧拉的猜想与类比

分析笔记 huijiaorz 240℃ 0评论

类比,是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,数学对象形式结构的接近,从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法,也是一种观点。 类比的推理是一种“合情推理”,不是证明,它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是,它是获得新思路,新发现的一种观点、一种手段。 德国数学家开普勒曾经说过:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的。”

在数学史上,有很多重要的数学猜想是通过类比得到的。比如著名的数学家欧拉在处理无穷级数求和问题时,由有限的情况类比无限的情况,获得了正确的答案。17世纪瑞士数学家雅各·伯努利未曾求出所有自然数平方的倒数之和,即$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots$$为此,伯努利公开征求答案。问题获得了欧拉的注意,他把有限次的代数多项式因子分解定理应用于无限次的情况。要知道,代数多项式分解因式后,令各一次因式为零便可求出该代数方程各个根。反之,若各根为已知,则多项式可用各根做成的一次式为因式,所有的一次因式相乘。那么,象$\sin x$是否可以表示成因子连乘呢?已知$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$可视为一个无限多次的代数多项式。当$\sin x=0$时,有无限多个根$$x=0,\pm\pi,\pm 2\pi,\pm 3\pi,\cdots$$如果$\sin x$能表示成无限多个因子连乘,那么应该有$$\sin x=x[1-\frac{x^2}{\pi^2}][1-\frac{x^2}{(2\pi)^2}][1-\frac{x^2}{(3\pi)^2}]\cdots$$这又是一个著名的欧拉公式,该公式已被严格的证明。如果把上面式子的右端展开,可以看出$-x^3$的系数是$$\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+\frac{1}{(3\pi)^2}+\cdots=\frac{1}{3!}$$从而可以得到$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

由类比得出的猜测能获得成功,看起来是偶然的,实际上也预示着某种必然性。类比的成功是数学内在统一性的一种表现。数学的类比可以在相距不远的数学知识领域之间进行,比如平面性质与空间性质之间的类比;也可以在相距甚远的数学分支之间进行,比如数与形的类比。

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