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一篇文章掌握“矩阵与其伴随矩阵”

数学心得 huijiaorz 574℃ 0评论

该文从矩阵的伴随矩阵的定义出发,讨论了矩阵与其伴随矩阵的关系和性质:

  • 矩阵与其伴随矩阵的秩
  • 矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵
  • 伴随矩阵的几个性质

定义

矩阵$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{array}\right]$

将矩阵$A$的元素$A_{ij}$所在的行和列划去后,剩下的$(n-1)^2$个元素按照原来的顺序组成的$n-1$阶矩阵所确定的行列式称为$a_{ij}$的余子式,记为$M_{ij}$

称$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式

由矩阵$A$的各元素的代数余子式组成的如下矩阵:$$A^\ast=\left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\\\end{array}\right]$$

称为矩阵$A$的伴随矩阵

矩阵与其伴随矩阵的秩

设A为域F上的n阶方阵,$A^\ast$为其伴随矩阵。证明:$$r(A^\ast)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\1,\quad r(A)=n-1\\0,\quad r(A)< n-1\end{cases}$$

证明:当$r(A)=n$时,由$$A\cdot A^\ast=|A|\cdot E$$

易知:$r(A^\ast)=n$

当$r(A)=n-1$时,$$A\cdot A^\ast=|A|\cdot E=0$$

从而$A^\ast$的列向量为$AX=0$的解。又$r(A)=n-1$,所以$AX=0$的解空间维数1,于是$r(A^\ast)\leq 1$

注意到$A^\ast$中元素为$A$的$n-1$阶子式,由$r(A)=n-1$知$A^\ast$不是零矩阵,即$r(A^\ast)\geq 1$,所以$r(A^\ast)=1$

当$r(A)< n-1$时,由$A^\ast$定义可知:$A^\ast=0$

矩阵伴随矩阵的伴随矩阵

设A为域F上的n阶方阵,$A^\ast$为其伴随矩阵。证明:$$(A^\ast)^\ast=\begin{cases}A,\quad n=2\\|A|^{n-2}A,\quad n>2\end{cases}$$

证明(方法一):若$|A|\neq 0$,即$r(A)=n$时$$A^\ast\cdot(A^\ast)^\ast=|A^\ast|\cdot E$$

而$|A^\ast|=|A|^{n-1}$,所以$$\begin{aligned}(A^\ast)^\ast\cdot A^\ast &=|A|^{n-1}\cdot E\\(A^\ast)^\ast\cdot A^\ast\cdot A &=|A|^{n-1}\cdot A\\(A^\ast)^\ast\cdot |A| &=|A|^{n-1}\cdot A\\(A^\ast)^\ast &=|A|^{n-2}\cdot A\\\end{aligned}$$

由$r(A)=n-1$,有$r(A^\ast)=1< n-1$,所以$r[(A^\ast)^\ast]=0$,自然有$(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}\cdot A$

由$r(A)< n-1$,有$r(A^\ast)=0$,所以$r[(A^\ast)^\ast]=0$,所以有$(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}\cdot A$

综上所述$n>2$时,$(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}\cdot A$

而当$n=2$时,可设$A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$,于是$$\begin{aligned}A^\ast &=\left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]\\(A^\ast)^\ast &=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=A\end{aligned}$$

证明(方法二):此处仅讨论$n>2$的情形。

若$|A|\neq 0$,则由$$(A^\ast)\cdot A=|A|\cdot E\\A^\ast\cdot(A^\ast)^\ast =|A^\ast|\cdot E$$

可知$(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}\cdot A$

若$|A|=0$,不妨设$r(A)=r$。存在可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ=\left[\begin{array}{cc}I_r&0\\0&0\end{array}\right]$

对于矩阵$\left[\begin{array}{cc}I_r&0\\0&0\end{array}\right]$,注意到它的阶大于2,那么它的伴随矩阵的秩$\leq 1< n-1$,因此它的伴随的伴随的秩必然为零。即$$[(PAQ)^\ast]^\ast =0$$

于是$(P^\ast)^\ast(A^\ast)^\ast(Q^\ast)^\ast =0$。而$P,Q$可逆,所以$(P^\ast)^\ast,(Q^\ast)^\ast$仍可逆,于是$(A^\ast)^\ast =0$

显然此时有$(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}\cdot A$;综上所述$(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}\cdot A$

伴随矩阵的性质

  • $A$可逆当且仅当$A^\ast$可逆
  • 如果$A$可逆,则$A^\ast=|A|\cdot A^{-1}$
  • $|A^\ast|=|A|^{n-1}$
  • $(kA)^\ast=k^{n-1}A^\ast$
  • 若$A$可逆,则$(A^{-1})=(A^\ast)^{-1}$
  • $(A^T)^\ast=(A^\ast)^T$
  • $(AB)^\ast=B^\ast A^\ast$

性质的证明,可通过伴随矩阵的定义和式子$A\cdot A^\ast=|A|\cdot E$来证明。这里就不全部一一展开了。

证明:若$A$可逆,则$(A^{-1})=(A^\ast)^{-1}$

分析:由$(A^{-1})\cdot(A^{-1})^\ast=|A^{-1}|\cdot E$,得:$(A^{-1})^\ast=|A^{-1}|\cdot A$,而$$\begin{aligned}A^\ast\cdot(A^\ast)^{-1}&=E\\A\cdot A^\ast\cdot(A^\ast)^{-1}&=A\\|A|\cdot(A^\ast)^{-1}&=A\\(A^\ast)^{-1}&=\frac{A}{|A|}\end{aligned}$$

所以$(A^{-1})=(A^\ast)^{-1}$

证明:$(A^T)^\ast=(A^\ast)^T$

分析:因$A^\ast=\left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\\\end{array}\right]$,所以$(A^\ast)^T=\left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\\end{array}\right]$

而$A^T=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\\\end{array}\right]$,所以$(A^T)^\ast=\left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\\end{array}\right]$

所以$(A^T)^\ast=(A^\ast)^T$

关于$(AB)^\ast=B^\ast A^\ast$的证明,会另外写一文。

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