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圆周率的计算依据的公式

分析笔记 huijiaorz 425℃ 0评论

众所周知,圆周率是圆的周长与直径的比值。在古代的数学史上,圆周率的研究和计算一定程度上反应了当时的数学水平。古希腊阿基米德,阿拉伯的卡西,古印度阿耶波多,古代中国祖冲之和刘徽等等数学家,都致力于圆周率的研究和计算,先后给出了圆周率的估值。刘徽等人使用的是割圆术:使用内接于圆的正多边形逼近圆,多边形的边数越多,其周长与面积也越接近圆。思路很简单,但其计算量是个不小的挑战。也似乎在计算前,缺少了对计算的论证。不同于古代正多边形的估算,现代借助计算机,已经可以求得的圆周率达到了惊人的位数,2019年3月14日,谷歌宣布圆周率已到小数点后31.4万亿位。那么现代计算的依据是什么呢?

圆周率是无理数

1737年,欧拉证明了e是无理数;兰伯特根据欧拉的工作证明:如果x是非零有理数,那么$e^x$和$\tan x$都不是有理数。再根据此结果,由$\tan\frac{\pi}{4}=1$,可得到$\frac{\pi}{4}$不是有理数,因此圆周率是无理数。

圆周率是超越数

勒让德首先猜测圆周率可能不是有理系数方程的根,勒让德的猜测促进了无理数的分类。任何有理系数多项式代数方程的任何一个根叫做一个代数数。即方程$$a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}=0$$

的根叫做代数数,其中$a_i$是有理数。而那些不是代数数的数叫做超越数。

1873年,法国数学家埃尔米特给出了自然常数$e$的超越性的证明,1882年,德国数学家林德曼证明了$\pi$也是超越数。但是$e+\pi$是不是无理数、超越数还有待确定,欧拉常数$$ \gamma=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}-\log n\right)$$

是不是无理数也同样有待确定。

圆周率的计算公式

  • 维加于1789年发表公式:$$\begin{aligned}\frac{\pi}{4}&=4\arctan\frac{1}{5}-2\arctan\frac{1}{408}+\arctan\frac{1}{1393}\\&=5\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{3}{79}\\&=2\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{7}\\&=2\arctan\frac{1}{2}-\arctan\frac{1}{7}\end{aligned}$$
  • 欧拉-维加公式:$$\frac{\pi}{4}=5\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{3}{79}$$
  • 欧拉公式:$$\pi=48\arctan\frac{1}{18}+32\arctan\frac{1}{57}-20\arctan\frac{1}{239}$$
  • 克拉森公式:$$\frac{\pi}{4}=2\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{7}$$
  • 卢瑟福公式(1841):$$\frac{\pi}{4}=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{70}+\arctan\frac{1}{99}$$
  • 高斯公式:$$\frac{\pi}{4}=3\arctan\frac{1}{4}+\arctan\frac{1}{20}+\arctan\frac{1}{1985}\\ \pi=48\arctan\frac{1}{18}+32\arctan\frac{1}{57}-20\arctan\frac{1}{239}$$
  • 达泽公式:$$\frac{\pi}{4}=\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{8}$$
  • 布赛尔公式:$$\pi=32\arctan\frac{1}{10}-16\arctan\frac{1}{515}-4\arctan\frac{1}{239}$$
  • 艾斯克托公式(1896):$$\begin{aligned}\pi=&88\arctan\frac{1}{28}+8\arctan\frac{1}{443}\\ &-20\arctan\frac{1}{1393}-40\arctan\frac{1}{11018}\end{aligned}$$
  • 肖鲁兹公式(1844):$$\pi=4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{5}+4\arctan\frac{1}{8}$$
  • 斯特姆公式:$$\pi=24\arctan\frac{1}{8}+8\arctan\frac{1}{57}+4\arctan\frac{1}{239}$$
  • 山克斯公式(1853):$$\pi=24\arctan\frac{1}{8}+8\arctan\frac{1}{57}+4\arctan\frac{1}{239}$$
  • 赫顿:$$\pi=12\arctan\frac{1}{4}+4 \arctan\frac{5}{99}$$
  • 马庭(1706):$$\pi=16\arctan\frac{1}{5}-4\arctan\frac{1}{239}$$

上述公式只是部分成果,而且除了正切反函数表示的公式外,也有一些使用正弦、余弦的反函数的圆周率公式。再使用正切反函数的级数展开式,通过计算机来计算圆周率。由于上述公式的收敛速度有快有慢,圆周率的计算会选择收敛较快的公式。因此欧拉和马庭公式使用的更多一些。

圆周率的级数表达

  • 莱布尼茨(1673):$$\pi=4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots)$$
  • 欧拉:$$\begin{aligned}\pi=& 4(\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot 2^{3}}+\frac{1}{5\cdot 2^{5}}-\frac{1}{7\cdot 2^{7}}+\cdots\\ &+\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot 3^{3}}+\frac{1}{5 \cdot 3^{5}}-\frac{1}{7\cdot 3^{7}}+\cdots)\end{aligned}$$
  • 欧拉:$$\pi=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots}$$
  • 欧力斯(1656):$$\pi=2\times\frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 8\cdot 8\cdots}{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 9\cdot 9\cdots}$$
  • 松永良弼:$$\begin{aligned}\pi=&3(1+\frac{1^{2}}{4\cdot 6}+\frac{1^{2}\cdot 3^{2}}{4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}\\ &+\frac{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{4\cdot 6\cdot 8\cdot 10 \cdot 12\cdot 14}+\cdots)\end{aligned}$$
  • 牛顿:$$\begin{aligned}\pi&=\frac{3 \sqrt{3}}{4}+24(\frac{1}{3 \cdot 2^{2}}-\frac{1}{5 \cdot 2^{5}}-\frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2^{8}}\\&-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 9\cdot 2^{11}}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 11\cdot 2^{13}}-\cdots )\end{aligned}$$
  • 牛顿:$$\begin{aligned}\pi=& 6(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}\\ &+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}+\cdots)\end{aligned}$$
  • 乌衣塔:$$\pi=\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}}$$
  • 夏普(1705):$$\pi=2\sqrt{3}(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^{2}}-\frac{1}{7\cdot 3^{3}}+\cdots)$$
  • 马庭(1706):$$\begin{aligned}\pi=& 16(\frac{1}{5}-\frac{1}{3\cdot 5^{3}}+\frac{1}{5\cdot 5^{5}}-\frac{1}{7\cdot 5^{7}}+\cdots)\\ &-4(\frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot 239^{3}}+\frac{1}{5\cdot 239^{5}}-\cdots)\end{aligned}$$

1673年,莱布尼茨找到圆周率的一个级数表示形式,结束了人工计算圆周率的工作,开启了计算机计算圆周率的时代。当然了,莱布尼茨的级数收敛速度是偏慢的。借助计算机,圆周率的计算位数也在不断的刷新,很多时候都用来测试计算机的性能。

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