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数列前n项和的“均值”极限问题

分析笔记 huijiaorz 309℃ 0评论

若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$,则$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=a$$

正序

若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=b$,则$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n}{n}=ab$$

分析:由$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=b$,则$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_ny_n=ab$$

再使用上述命题,可得$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n}{n}=ab$$

如果把上述命题中的和,改为倒序得到下面的命题。

倒序

若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=b$,证明:$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{1}y_{n}+x_{2}y_{n-1}+\cdots+x_{n}y_{1}}{n}=ab$$

证明:令$x_{n}=a+\alpha_{n}, y_{n}=b+\beta_{n}$,则$n\rightarrow\infty$时,$\alpha_{n}, \beta_{n} \rightarrow 0$,所以$$ \begin{aligned}&\quad\frac{x_{1}y_{n}+x_{2}y_{n-1}+\cdots+x_{n}y_{1}}{n}\\&=\frac{\left(a+\alpha_{1}\right)\left(b+\beta_{n}\right)+\left(a+\alpha_{2}\right)\left(b+\beta_{n-1}\right)+\cdots+\left(a+\alpha_{n}\right)\left(b+\beta_{1}\right)}{n}\\&=a b+a \frac{\beta_{1}+\beta_{2}+\cdots+\beta_{n}}{n}+b \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}}{n}\\&\quad+\frac{\alpha_{1}\beta_{n}+\alpha_{2}\beta_{n-1}+\cdots+\alpha_{n}\beta_{1}}{n}\end{aligned}$$

第二、三项极限为零。因$\alpha_{n} \rightarrow 0$,故$\alpha_{n}$有界,即$\exists M>0$,使得$\left|\alpha_{n}\right|\leqslant M(\forall n\in\mathbf{N})$

$$ 0<\left|\frac{\alpha_{1}\beta_{n}+\alpha_{2}\beta_{n-1}+\cdots+\alpha_{n}\beta_{1}}{n}\right|\leqslant M\frac{\left|\beta_{n}\right|+\left|\beta_{n-1}\right|+\cdots+\left|\beta_{1}\right|}{n}\rightarrow 0$$

命题获证。

乱序

由该命题的证明过程可知,若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=b$,有:$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum\limits_{1\leq i,j\leq n}x_iy_j}{n}=ab$$

成立。

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