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函数的一致连续性专题

分析笔记 huijiaorz 333℃ 0评论

当函数在区间上一致连续时,无论区间上的任何部分,只要自变量的两个数值足够接近,总可以确保函数值达到预定的接近程度。这是描述函数整体趋势的一个概念,比连续性更强。

一致连续定义

设函数$f(x)$在区间$I$上有定义,如果$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$,使得对于定义域上任意两点$x_1,x_2,|x_1-x_2|<\delta$,恒有$$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

则称函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。

一致连续复合性

设$z=g(y)$于$J$,$y=f(x)$于$I$都是一致连续函数,且$f(I)\subset{J}$。证明:$z=g(f(x))$在$I$上一致连续。

证明:$\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0$,当$y_1,y_2\in J$且$|y_1-y_2|<\delta_1$时,有
$$|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon$$

对于上述$\delta_1,\exists\delta_2>0$,当$x_1,x_2\in J$且$|x_1-x_2|<\delta_2$时
$$|y_1-y_2|=|f(x_1)-f(x_2)|<\delta_1$$

所以所证成立。

一致连续的运算法则

如果$f,g$均在$I$上一致连续,则$f\pm{g}$在$I$上一致连续。

证明:因为$f,g$在$I$上一致连续,所以

对$\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0$,当$x_1,x_2\in I$且$|x_1-x_2|<\delta_1$时,有
$$|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$$

$\exists\delta_2>0$,当$x_1,x_2\in I$且$|x_1-x_2|<\delta_2$时,有
$$|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$$

取$\delta=min(\delta_1,\delta_2)$,当$x_1,x_2\in I$且$|x_1-x_2|<\delta$时,有
$$|f(x_1)+g(x_1)-f(x_2)-g(x_2)|\leq|f(x_1)-f(x_2)|+|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$$

命题获证。

如果$f(x)$均在有限开区间$(a,b)$上一致连续,则$f$在$(a,b)$有界。

分析:因$f(x)$在$(a,b)$上一致连续,所以对$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$,使$|x_1-x_2|<\delta,x_1,x_2\in(a,b)$有
$$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

从而有
$$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon,(x_1,x_2\in(a,a+\delta) or \in(b-\delta,b))$$

根据柯西收敛准则
$$\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)\\\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)$$

存在,所以$f$在$(a,b)$有界。

如果$f(x),g(x)$均在有限区间$I$上一致连续,则$f\cdot{g}$一致连续。

分析:因为$f,g$均在有限区间上一致连续,所以$\exists M>0$,使得
$$|f(x)|<M,|g(x)|<M$$

对$\forall x_1,x_2\in I$,有
$$\begin{aligned}|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|&\leq|f(x_1)g(x_1)-f(x_1)g(x_2)|+|f(x_1)g(x_2)-f(x_2)g(x_2)|\\&\leq M|g(x_1)-g(x_2)|+M|f(x_1)-f(x_2)|\end{aligned}$$

设函数$f$在区间$I$和$J$上一致连续,若$I\cap J\neq\varnothing$,则$f$在$I\cup J$上也一致连续。

证明:对$\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0,\delta_2>0$使得$x_1,x_2\in I,x_3,x_4\in J$且$|x_1-x_2|<\delta_1,|x_3-x_4|<\delta_2$有
$$|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}\\|f(x_3)-f(x_4)|<\frac{\varepsilon}{2}$$

取$\delta=min(\delta_1,\delta_2)$,若$x^{\prime},x^{\prime\prime}$分别属于$I$和$J$,取$x_0\in I\cap J$,那么
$$|f(x^{\prime})-f(x^{\prime\prime})|\leq |f(x^{\prime})-f(x_0)|+|f(x_0)-f(x^{\prime\prime})|<\varepsilon$$

所以$f$在$I\cup J$上也一致连续。

一致连续的利普希茨条件

设函数$f$在区间$I$上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在常数$L>0$,使得对$I$上任意两点$x^\prime,x^{\prime\prime}$都有$$|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\leq L|x^\prime-x^{\prime\prime}|$$

证明$f$在$I$上一致连续。

证明:$\forall\varepsilon>0$,取$\delta=\frac{\varepsilon}{L}$,只要$|x^\prime-x^{\prime\prime}|<\delta=\frac{\varepsilon}{L}$则有
$$|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\leq L|x^\prime-x^{\prime\prime}|<L\cdot\frac{\varepsilon}{L}$$

由一致连续性定义可知$f$在$I$上一致连续。

下面这个定理:是通过与另一个一致连续函数的比较,来判定一致收敛性。后面还会有类似命题,该命题放到这里是因为,如果考虑$g(x)=x$,则命题变为上述的利普希茨条件。

对于定义在区间I上的函数$f,g,\exists L>0,\forall x_1,x_2\in I$,有$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq L|g(x_1)-g(x_2)|$$

成立,若$g$在I上一致连续,则$f$在I上也一致连续。

分析:若$g$在I上一致连续,则对$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$使得$\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta$有
$$|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{L}$$

再结合
$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq L|g(x_1)-g(x_2)|$$

易知命题成立。

康托尔定理

康托尔定理:若函数$f$在$[a,b]$上连续,则$f$在$[a,b]$上一致连续。

证明:若$f$在$[a,b]$上不一致连续,则存在$\varepsilon>0$,以及区间$[a,b]$上的点列$\{x_n\},\{y_n\}$,虽然$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n-y_n)=0$,但是
$$|f(x_{n})-f(y_{n})|\geqslant\varepsilon_{0},n=1,2,\cdots\tag{1}$$

因为$\{x_n\}$有界,所以由致密性定理,$\{x_n\}$有一个收敛的子列$\{x_{n_k}\}$。设$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_{k}}=x_{0}$,从而
$$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}y_{n_{k}}=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}[(y_{n_{k}}-x_{n_{k}})+x_{n_{k}}]=x_{0}$$

又$a\leqslant x_{n_{k}}\leqslant b$,由极限的不等式性质推得$a \leqslant x_0\leqslant b$,故$f(x)$在点$x_0$连续。由归结原则与(1)式得
$$ \varepsilon_{0}\leqslant\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})|=|f(x_{0})-f(x_{0})|=0$$

矛盾。

一致连续的充要条件

在有限区间$(a,b)$上的连续函数$f$为一致连续的充要条件是$f(a+0)$与$f(b-0)$都存在。

证明:必要性

$f$在$(a,b)$上一致连续,则$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,x_1,x_2\in(a,b)$使得
$$|x_1-x_2|<\delta$$

时,有$$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

取$x_1,x_2\in(a,a+\delta)$时,根据柯西准则,知$\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)$存在;

同理,知$\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)$存在。

充分性

补充定义$f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0)$,又$f$在$(a,b)$上连续,所以在$[a,b]$上连续。再由康托尔定理可知充分性成立。

$f(x)$在区间I上一致连续的充要条件是:对I上的任意两个数列$\{x_n\},\{y_n\}$只要$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)=0$$

就有$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0$$

证明:必要性

因为$f$一致连续,所以$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$当$x^\prime,x^{\prime\prime}\in I,|x^\prime-x^{\prime\prime}|<\delta$时,有
$$|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|<\varepsilon$$

而$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)=0$$

对$\delta>0,\exists N>0$,当$n>N$时
$$|x_n-y_n|<\delta$$

此时
$$|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon$$


$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0$$

充分性

若$f$在I上非一致连续,则$\exists\varepsilon_0>0,\forall\frac{1}{n}>0,\exists x_n,y_n\in I$。虽然
$$|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$$


$$|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon_0$$

可见$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)=0$$

但$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)-f(y_n))\neq 0$$

通过一致连续函数判定

设$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续,$\varphi(x)$在$[a,+\infty)$上连续,且$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$$

证明:$\varphi(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。

证明:因为$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续,所以$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$当$x_1,x_2\in[a,+\infty)$且$$|x_1-x_2|<\delta$$

时$$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

又因为$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$$

对上述$\varepsilon,\exists G>a$当$x_1^\prime,x_2^\prime>G$且$|x_1^\prime-x_2^\prime|<\delta$时
$$\begin{aligned}|f(x_1^\prime)-\varphi(x_1^\prime)-f(x_2^\prime)+\varphi(x_2^\prime)|&<\varepsilon\\|\varphi(x_1^\prime)-\varphi(x_2^\prime)|-|f(x_1^\prime)-f(x_2^\prime)|&\leq|f(x_1^\prime)-\varphi(x_1^\prime)-f(x_2^\prime)+\varphi(x_2^\prime)|\\&<\varepsilon\\|\varphi(x_1^\prime)-\varphi(x_2^\prime)|&<|f(x_1^\prime)-f(x_2^\prime)|+\varepsilon\\&<2\varepsilon\end{aligned}$$

所以$\varphi(x)$在$[G,+\infty)$上一致连续;由$\varphi(x)$在$[a,+\infty)$上连续可知,$\varphi(x)$在$[a,G]$上连续,所以$\varphi(x)$在$[a,G]$上一致连续;所以$\varphi(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。

设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续,且$x\rightarrow +\infty,f(x)$有渐近线$y=ax+b$,证明:$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。

分析:该命题可看作上面命题的一个具体形式。

无限区间上一致连续

若函数$f$为$(-\infty,+\infty)$上连续周期函数,则$f$在$(-\infty,+\infty)$上一致连续。

分析:由函数周期连续,可知函数在一个周期长度的闭区间上一致连续,结合一致连续的定义和周期性,将证得在区间上一致连续。

若函数$f$在$(a,+\infty)$上连续,若$f(a+0)$和$f(+\infty)$都存在,则$f$在$(a,+\infty)$上一致连续。

分析:由$f(+\infty)$存在出发,使用极限和一致连续的定义综合叙述,给出证明。

注意这两个命题说明了:$f(\pm\infty)$存在可以确保一致连续,反之一致连续不能保证$f(\pm\infty)$存在;例如上面周期函数的情况。

若$y=f(x)$在有限开区间$(a,b)$上严格单调且连续,则其反函数$x=f^{-1}(y)$在区间$\{y|y=f(x),x\in(a,b)\}$上一致连续。

分析:这种情况其实是上述命题情况:反函数的定义域有限的情况,两端存在极限;一端无限,但有极限存在可使用上述命题;两端无限,分成两个一端无限就变成第二种情况了。

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