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柯西方程

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柯西方程

设函数$f$在$x=0$处连续,且对任何$x,y\in{R}$有$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

证明:$f$在$R$上连续,且$f(x)=x\cdot{f(1)}$。

证明:首先证明连续性,由于对任何$x,y\in{R}$有
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

令$x=0$,


$$f(y)=f(0)+f(y)$$

所以$f(0)=0$

又因为函数$f$在$x=0$处连续,所以
$$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0$$

又因为对任意$x_0$有
$$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)&=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x-x_0+x_0)\\&=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x-x_0)+\lim_{x\rightarrow x_0}f(x_0)\\&=f(x_0)\end{aligned}$$

所以$f(x)$在$x_0$处连续,由$x_0$的任意性,知$f(x)$在$R$上连续。

接下来证明$f(x)=x\cdot{f(1)}$,首先证明对一切有理数$r$,有$f(r)=r\cdot{f(1)}$

设$r=\frac{p}{q}$,其中$p,q$为整数,有
$$\begin{aligned}f(px)&=f(px+x-x)\\&=f(x)+f((p-1)x)\\&=f(x)+f(x)+f((p-2)x)\\&=\cdots\\&=pf(x)\end{aligned}$$

所以
$$\begin{aligned}f(x)&=f(q\cdot\frac{x}{q})\\&=q\cdot{f(\frac{x}{q})}\\\end{aligned}$$


$$f(\frac{x}{q})=\frac{1}{q}f(x)$$

所以
$$\begin{aligned}f(\frac{p}{q}x)&=p\cdot{f(\frac{x}{q})}\\&=\frac{p}{q}f(x)\\\end{aligned}$$

令$x=1$,得$f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}\cdot{f(1)}$

所以对任意有理数$r$有
$$\begin{aligned}f(r)&=f(\frac{p}{q})\\&=\frac{p}{q}f(1)\\&=r\cdot{f(1)}\end{aligned}$$

最后,对任意无理数$\alpha$,不存在有理序列$\{r_n\}$,且
$$\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha$$

根据$f$在$R$上连续,有
$$\begin{aligned}f(\alpha)&=\lim_{n\rightarrow\infty}f(r_n)\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}r_n\cdot{f(1)}\\&=\alpha\cdot{f(1)}\end{aligned}$$

因此对一切实数$x\in{R}$,有$f(x)=x\cdot{f(1)}$。

应用

命题1:设$f$是定义在$R$上的函数,且对任意$x_1,x_2\in{R}$,有$$f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot{f(x_2)}$$

若$f'(0)=1$,证明对任何$x\in{R}$,都有$f'(x)=f(x)$。

证明:因为对任意$x_1,x_2\in{R}$,有
$$f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot{f(x_2)}$$

所以
$$f(2x)=f^2(x)>0,x\in{R}$$

令$g(x)=\ln{f(x)}$,则对任意$x_1,x_2\in{R}$,有
$$g(x_1+x_2)=g(x_1)+g(x_2)$$

又$f'(0)=1$,$f$在$x=0$处连续,所以
$$\begin{aligned}g(x)&=x\cdot{g(1)}\\\therefore\ln{f(x)}&=x\cdot{g(1)}\\\therefore\frac{f'(x)}{f(x)}&=g(1)\\\end{aligned}$$


$$\begin{aligned}g(x_1)&=g(x_1+0)\\&=g(x_1)+g(0)\\\therefore\quad{g(0)}&=0\end{aligned}$$

又由
$$\begin{aligned}g(0)&=\ln{f(0)}=0\\\therefore\quad{f(0)}&=1\\\therefore\quad{g(1)}&=\frac{f'(0)}{f(0)}=1\\\therefore\quad{f'(x)}&=f(x)\end{aligned}$$

命题2:若$f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$,则$f(x)=ax+b$。

证明:设$f(0)=b$,由已知得
$$\begin{aligned}\frac{f(x)+f(y)}{2}&=f(\frac{(x+y)+0}{2})\\&=\frac{f(x+y)+f(0)}{2}\\f(x+y)&=f(x)+f(y)-f(0)\\f(x+y)-f(0)&=f(x)-f(0)+f(y)-f(0)\\\end{aligned}$$

记$g(x)=f(x)-f(0)$,则有
$$g(x+y)=g(x)+g(y)$$

由柯西方程可得
$$\begin{aligned}g(x)&=ax=f(x)-f(0)\\\therefore\quad{f(x)}&=ax+b\quad{(g(1)=a)}\end{aligned}$$

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