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柯西不等式及其推论

分析笔记 huijiaorz 220℃ 0评论

柯西不等式在$n$维欧式空间,概率期望等方面有大量的推广使用。

柯西不等式

$$\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2} \leq\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right)\left(a_{i} b_{i} \in R, i=1,2 \cdots n\right)$$

等号当且仅当$a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0$或$b_i=ka_i,i=1,2,\cdots,n;k$为常数。

证明一:构造二次函数
$$ \begin{aligned}f(x)&=(a_{1} x+b_{1})^{2}+(a_{2} x+b_{2})^{2}+\cdots+(a_{n} x+b_{n})^{2}\\&=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})x^{2}+2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}) x\\&+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2})\end{aligned}$$

因为$$ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2} \geq 0$$

并且$f(x)\geq 0$恒成立,所以$$ \Delta=4\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2}-4\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right) \leq 0$$

即$$ \left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2} \leq\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right)$$

当且仅当$ a_{i} x+b_{i}=0(i=1,2, \cdots, n) $时,等号成立。

证明二:设$ \vec{a}=(a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}), \vec{b}=(b_{1}, b_{2}, \cdots b_{n}) $是两个n维向量,则
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\\|\vec{a}|=(\vec{a}\cdot\vec{a})^{\frac{1}{2}}=(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2})^{\frac{1}{2}}\\|\vec{b}|=(\vec{b}\cdot\vec{b})^{\frac{1}{2}}=(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2})^{\frac{1}{2}}$$

由于$\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}\vec{b}|\cos\theta\leq|\vec{a}\vec{b}|$,

因此$$(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}) \leq(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2})^{\frac{1}{2}}$$

当$\cos\theta=1$时等号成立,即两向量共线时,命题成立。

积分形式的柯西不等式

设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上可积,则$$ (\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx$$

当$f(x)=kg(x)$时,k为常数,等号成立。

证明一:因为$f,g$都在$[a,b]$上可积,由定积分的性质$f^2,f\cdot{g},g^2$均在$[a,b]$上可积,对区间$[a,b]$进行$n$等分,分点为$x_i=a+\frac{b-a}{n}i,i=1,2,\cdots,n$,由定积分的定义,可得
$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})g(x_{i}) \frac{b-a}{n}\\\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n} f^{2}(x_{i})\frac{b-a}{n}\\\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}g^{2}(x_{i}) \frac{b-a}{n}$$

由$ (\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx$,可知$$ (\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})g(x_{i}))^{2}\leq[\sum_{i=1}^{n} f^{2}(x_{i})][\sum_{i=1}^{n} g^{2}(x_{i})]$$

由极限的保号性可知命题成立;当$f(x)=kg(x)$时等号成立。

证明二:由$[\lambda{f(x)}+g(x)]^2\geq 0$,可知$$\int_a^b[\lambda{f(x)}+g(x)]^2dx=\lambda^2\int_a^bf^2(x)dx+2\lambda\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^bg^2(x)dx\geq 0$$

上式是个二次三项式,它不小于零的充分必要条件是:$$ (\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})g(x_{i}))^{2}\leq[\sum_{i=1}^{n} f^{2}(x_{i})][\sum_{i=1}^{n} g^{2}(x_{i})]$$

推广

设数项级数$\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}^{2}$和$\sum_{i=1}^{\infty}b_{i}^{2}$收敛,则$\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}b_i$也收敛,且
$$\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}^{2}\sum_{i=1}^{\infty} b_{i}^{2} \geq(\sum_{i=1}^{\infty} a_{i} b_{i})^{2}$$

闵科夫斯基不等式的积分形式

设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上可积,则$$ [\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))^{2}dx]^{\frac{1}{2}}\leq[\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}+[\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}$$

证明:由柯西不等式的积分形式
$$ 2\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq2|\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx|\leq2[\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\cdot\int_{a}^{b} g^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}\\\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx+2\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx+2[\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\cdot\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}+\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx\\\Rightarrow\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))^{2}dx\leq\{[\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}+[\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}\}^{2}$$

所以
$$ [\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))^{2}dx]^{\frac{1}{2}}\leq[\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}+[\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx]^{\frac{1}{2}}$$

积分形式的推广

$$ \left| \begin{array}{ll}{\int_{a}^{b} f(x) f(x) d x} & {\int_{a}^{b} g(x) f(x) d x} \\ {\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x} & {\int_{a}^{b} g(x) g(x) d x}\end{array}\right| \geq 0$$

当$k_{1} f(x)+k_{2} g(x)=0,k_1^2+k_2^2\neq 0$时,等号成立。


设$f(x),g(x),h(x)$在$[a,b]$上可积,则
$$ \left|\begin{array}{lll}{\int_{a}^{b}f(x)f(x)dx}& {\int_{a}^{b}g(x)f(x)dx} & {\int_{a}^{b}h(x)f(x)dx}\\{\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}& {\int_{a}^{b}g(x)g(x)dx} & {\int_{a}^{b}h(x)g(x)dx}\\{\int_{a}^{b}f(x)h(x)dx}&{\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx}&{\int_{a}^{b}h(x)h(x)dx}\end{array}\right|\geq 0$$

证明:注意到$t_1,t_2,t_3$的二次型
$$\begin{aligned}&\quad\int_{a}^{b}[t_{1}f(x)+t_{2}g(x)+t_{3} h(x)]^{2}dx\\&=t_{1}^{2}\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx+t_{2}^{2}\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx+t_{3}\int_{a}^{b}h^{2}(x)dx\\&\quad+2t_{1}t_{2}\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx+2t_{1}t_{3}\int_{a}^{b}f(x)h(x)dx+2t_{2}t_{3}\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx\end{aligned}$$

明显的,该二次型为非负二次型。所以其系数行列式非负。


设$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$在$[a,b]$上可积,则
$$ \left| \begin{array}{cccc}{\int_{a}^{b} f_{1}(x) f_{1}(x) d x} & {\int_{a}^{b} f_{2}(x) f_{1}(x) d x} & {\cdots} & {\int_{a}^{b} f_{n}(x) f_{1}(x) d x} \\ {f_{a}^{b} f_{1}(x) f_{2}(x) d x} & {\int_{a}^{b} f_{2}(x) f_{2}(x)d x} & {\cdots} & {\int_{a}^{b} f_{n}(x) f_{2}(x) d x} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {f_{a}^{b} f_{1}(x) f_{n}(x) d x} & {\int_{a}^{b} f_{2}(x) f_{n}(x) d x} & {\cdots} & {\int_{a}^{b} f_{n}(x) f_{n}(x)dx}\end{array}\right| \geq 0$$

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