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大师中的大师——欧拉

大师风采 huijiaorz 212℃ 0评论

读读欧拉,读读欧拉,他是我们大家的老师。——拉普拉斯

英雄世纪的数学英雄

如果说17世纪由于创造了2000多年来梦寐以求的微积分而被誉为天才的世纪,那么18世纪由于数学家们把微积分大大向前推进,并且在各个科学技术领域取得辉煌胜利,而成为英雄的世纪。18世纪数学英雄的最高代表就是列昂纳德·欧拉。牛顿、莱布尼兹建立的微积分,为18世纪数学家所掌握,向数学、物理、天文和各个科学技术领域开拓,取得前所未有的进步。这场浩浩荡荡数学征战的旗手欧拉,以他非凡的聪明才智、勤奋劳动和惊人毅力,把微积分发展为拥有众多分支的分析数学。这种广义的数学分析实际上包括了对所有运动变化的定量研究。他在几何、代数上数量庞大的发明创造,导致一些全新的数学分支的诞生。欧拉为促进数学空前蓬勃的发展,耗尽了毕生精力:先是献出他的双目,最终是他的生命。他为人类文明建立了不朽的功勋。

和煦的阳光透过明亮的玻璃窗,照进四壁放满书籍的书房。一位头发略呈斑白的学者俯身在靠窗的书桌上挥笔疾书。他左手抱着一个两岁的幼儿坐在他的膝上。桌子对面的小伊琳娜在给玩具娃娃穿衣裳。孩子们的拍手声和欢笑声从过道传过来——阿尔伯特正领着弟弟妹妹们拉着一只布狗熊在地上打滚;小狗查利高兴地摇着尾巴在人群里窜来窜去。这是1747年4月的一天,列昂纳德·欧拉正在写他的著名论文:《无穷小分析引论》。

有人说,欧拉计算起来毫不费力,就像人在呼吸,鹰在翱翔;也有人说,欧拉写他的高超论文,恰如文笔流畅的作家给他至亲好友写信那样轻松自如;甚至有人说,欧拉能够在妻子第一次和第二次催他吃午饭的不到半小时的间隙里完成一篇论文。且不说这些说法是不是言过其实,从这里我们多少可以看出他那无与伦比的数学才华。

欧拉是历史上最多产的数学家。多产的法国数学家柯西的全集有26卷;德国数学家高斯的全集有12卷;而欧拉一生创作了886篇论著,他的全集有74卷之多。如果考虑到他生命的最后17年双目已经完全失明,就更令人惊叹不止了。人们可以在所有数学分支中见到他的光辉名字:欧拉公式,欧拉函数,欧拉方程,欧拉多项式,欧拉常数,欧拉积分,欧拉线,……即使在初等数学中也不例外,那里的不少重要概念和定理正是这位大师的杰作。发现立体几何中有名的欧拉定理和建立起今天三角学科学体系的就是这位大名鼎鼎的欧拉。不仅如此,在数学以外的许多学科还有一大串以他命名的专门术语来纪念他的卓越贡献,欧拉运动学方程,欧拉流体动力学方程,欧拉力,欧拉角,欧拉坐标,欧拉相关,等等。他那博大精深的学识和无穷无尽的创造精力永远是人们敬慕的对象。1909年,瑞士自然科学协会,在全世界许多学术团体和个人资助下着手搜集和出版欧拉的佚文的时候,指出:欧拉不仅属于瑞士,而且属于全世界。的确,被誉为“数学家的英雄”的列昂纳德·欧拉不愧为瑞士奉献于世界的最伟大科学家。

不解之缘

在瑞士北部连绵起伏的丛山中,同德、法两国交界的地方有一颗晶莹的明珠——巴塞尔城。清澈的莱茵河从她身旁轻轻流过,好似一条丝带把城市装扮得妩媚动人。巴塞尔是瑞士的学术中心,历史上产生过许多大科学家的声名显赫的伯努利家族就居住在这里。1707年4月15日,城市居民册上又增添一个新居民,保罗·欧拉和玛格丽特·布鲁克的儿子列昂纳德·欧拉降生了。第二年,小欧拉随双亲迁到附近的雷欣村,父亲就在村里当加尔文教的牧师。其实,保罗本人对数学颇为在行,他曾经是数学家雅各布·伯努利的高材生。可是,他自己不想从事数学工作不说,还要儿子长大以后和自己一样,在乡村教堂里当牧师。做父亲的只指望儿子继承自己的事业,不想把孩子培养成为科学家,这类事例在科学史上屡见不鲜。高斯的父亲要儿子当花匠;维尔斯特拉斯的父亲要儿子当文官;黎曼的父亲想让儿子当牧师。保罗这样打算倒也情有可原,因为当牧师毕竟比当数学家容易,何况它的收入要优厚得多呢!因此,保罗对儿子从小就灌输极严格的宗教教育。什么早祷告,晚祷告,每天必做,甚至在每餐饭以前,还要讲一通主耶稣的道理。幸好他有个“毛病”,逢到高兴的时候,他会抛开天国和上帝,眉飞色舞地讲起人世间迷人的自然数和三角形来。凭着他向善男信女布道的时候练就的好口才,保罗把数学讲得绘声绘色,妙趣横生,完全迷住了小欧拉。热爱数学的种子就这样默默地埋在孩子的心田。

中学一毕业,欧拉顺从父亲的意愿来到巴塞尔大学学神学和希伯来语。不过他心里明白,自己真正喜爱的是什么。这时保罗当年的老师雅各布·伯努利已经去世,由他弟弟约翰·伯努利接替担任数学讲座教授。约翰本来是位医术高明的医生,后来受他哥哥的影响改攻数学。他28岁出任荷兰格罗宁根大学数学教授,并且多次夺得法国科学院颁发的研究奖,成为驰名欧洲的大数学家。数学界至今流传着一段有关约翰的轶事。在第五章中提到过,为微积分发明的优先权,约翰站在莱布尼兹一边,同牛顿争论得相当激烈。但是,牛顿在约翰的心目中仍然无可争辩地享有崇高的地位。年轻的约翰有一次在英国旅行,遇到一个外国人。这个人身体微胖,长发披肩,显然受到周围人们的极大尊敬。约翰不避嫌疑,上前谦逊地介绍自己:“我是约翰·伯努利。”“我,”那人冷冷地回答,“是伊萨克·牛顿。”约翰把这次会见看做是自己一生中所接受的最高贵的礼物。

这时约翰虽然年过半百,但是精神矍铄,讲起课来旁征博引,生动而富有感情。每逢他上课,教室里总是济济一堂,座无虚席。欧拉也去听约翰的课。坐在教室最前排的欧拉特别惹人注目。在他高高的额头下闪烁着一对天真无邪的大眼睛。不过说他是个孩子可能更确切,因为他的年纪最多不过十二三岁,个子比一般学生足足矮一头。大学生们都当他是小弟弟,没有把他放在眼里。可是,人不可以貌相。有一次,约翰在讲课的时候无意中提到当时数学家们还没有解决的一个大难题。谁知下课铃声一响,欧拉不声不响交给他一份答案。约翰看着看着,几乎不敢相信自己的眼睛。是的,欧拉的解答还称不上是真正完备的,但是它构思的精巧和大胆使约翰清楚地意识到,站在自己面前的这个瘦小的孩子,将是未来的数学巨人。这个意外的发现使约翰大为兴奋。他当即决定每星期在家单独为欧拉授课一次。有这样的好机会,欧拉连做梦也没有想到,心里真有说不出的高兴。果然,在名师的精心指导下,欧拉的数学突飞猛进。他的勤奋和才能也深深吸引约翰的儿子丹尼尔·伯努利(1700—1783),他们从此成为终身好友。

欧拉17岁获硕士学位。父亲要他放弃数学,把全副精力放在神学上。欧拉虽然笃信上帝,可是要去做神职人员,他打心眼里不乐意。不过,他是个孝顺的儿子,不愿公然违抗父亲的意志。正在感到左右为难,伯努利父子闻讯赶来为他说情。

“亲爱的神甫,您知道我遇到过不少才气洋溢的青年,但是要和您的儿子相比,他们都相形见绌。假如我的眼力不错,他无疑是瑞士未来最了不起的数学家。”约翰压抑着内心的激动接着说,“为了数学,为了孩子,我请求您重新考虑您的决定。”

保罗不是铁石心肠。他理解约翰也理解儿子的心情。深孚众望的约翰教授的一席话使保罗改变初衷,虽然这将给家里的生活带来困难。从此,欧拉再也不用等到父亲熟睡以后才偷偷起床来做他的计算,也不用在数学书外面套一张圣经的封皮来逃避父亲的注意。他像放出攀笼的苍鹰冲向自由的蓝天,又像饿虎扑向面前的猎物。从古希腊的经典著作到牛顿的《自然哲学的数学原理》,他巴不得一古脑儿把它们嚼碎吞下。好在他有惊人的理解和消化能力,这些丰富的知识再好不过地促使他飞速成长。

日历翻到了1727年。春风吹绿了巴塞尔的大地。年轻的欧拉满怀创造的激情,跃跃欲试。当时欧洲的科学院有个通行的做法,它们把各国政府或有关部门提出的科研项目,设置奖金公开征求解答。在这些题目中有相当一部分同航海有关,因为随着航运事业的发展和连续不断的海上战争,各国政府愈来愈关注海洋的控制。那一年,法国科学院提出的题目是:关于船的立桅。巴黎奖金是一项崇高的荣誉,对数学家来说,能赢得一次这样的荣誉就足慰平生了。欧拉决定利用这次机会考验一下自己的能力。从某种意义上说,欧拉的处女作是他全部工作的缩影。它既显示出欧拉的力量,也暴露了他的弱点。欧拉的力量在于分析。他是分析学精妙绝伦的大师,又是顶呱呱的方法发明家和运算的巨匠。分析的武器一到他的手中真可谓坚无不摧,攻无不克。欧拉的弱点,如果有的话,就在于有的地方和实践脱节。倘若我们记得瑞士根本不存在海军,那么对他的弱点也就不会过分惊奇。他在瑞士的湖泊里只见过不多的几艘划桨的小船,还没有见过真正的海船呢!评选结果,欧拉的论文得到很高的评价,但是没有获奖。不过这算不了什么。欧拉从这次工作中得到有益的锻炼。后来他以12次获得这类奖金来补偿这次失利。

同年,在朋友们的怂恿下,欧拉向巴塞尔大学申请教授职位。可惜他资历尚浅,虽然经约翰·伯努利极力推荐,还是遭到校方拒绝。接连的挫折没有使欧拉气馁,反而激起他更加发愤地学习。这时丹尼尔·伯努利正在彼得堡大学任数学教授,他一口答应为欧拉在科学院谋个差使。想到不久将去彼得堡同丹尼尔在一起,欧拉满心喜悦。有一次丹尼尔来信提到,彼得堡科学院可能要开设医学部。听到这个消息,欧拉开始热心地学习生理学,还去听医学讲座。尽管这样,欧拉经过这些年来对数学的潜心研究,已经和数学结下不解之缘。无论做什么事情,即使在欣赏诗篇,他都要用自己的数学天才去试探一番。欧拉十分喜爱的罗马大诗人维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》中有这样一句:“锚抛下了,前进的大船停下了来。”读到这里,恐怕谁也不会想到它和数学有什么联系。可是,欧拉在这里禁不住要对船体在这种状态的运动来一番详细的计算。研究医学同样不能使他和数学分离。耳朵的生理学激起他对声音的传播发生兴趣。他利用数学来描述和研究声波的运动,写下一系列声学方面的重要论文,使这个领域成为数学物理学的一个重要分支。欧拉早期的工作就像一棵粗壮的大树,藤攀枝绕,盘根错节,繁茂地向四面八方生长出千姿百态的枝杈。

在彼得堡

丹尼尔办事利索。过不多久,欧拉接到去彼得堡工作的来信,职务是科学院医学部的助理。他兴高采烈地打点起行李匆匆启程。套马大口喷着水气,扬蹄飞奔。欧拉眺望着一闪而过的茅舍、田野,憧憬着未来,充满着希望。他感到浑身有使不完的力量,恨不得插翅飞到彼得堡,立即投入工作。

可是一到彼得堡,前来迎接的丹尼尔愁容满面。他让欧拉在家好好休息,压根儿不提去医学部就职的事。原来,在欧拉急匆匆日夜兼程地赶路的时候,在位刚刚两年的俄国女皇叶卡捷琳娜一世猝然去世。权力落入未成年的沙皇彼得二世手中。幼稚的小沙皇根本不懂科学,只把科学院当成多余的奢侈品。他打算解散科学院,把外籍科学家统统打发回国。丹尼尔四处奔走求告,结果一无所获。欧拉只得闷坐在家里一筹莫展。这时候,俄国海军部正在招考海军军官。为了生活,他决定去碰碰运气。半个月以后,欧拉早早来到涅夫斯基大街看结果。平日冷冷清清的海军部大楼门前,今日熙熙攘攘,人头济济。有的喜形于色,有的故作镇静。欧拉不安地在远处向贴榜处瞧去,心头不由一震。榜上的名字虽然写得密密麻麻,但是他一眼就看出,第一个名字不是别人,正是列昂纳德·欧拉!他揉揉眼睛凑往近处再一瞧,果然不错。不知是身体不适还是今天彼得堡的寒风格外凛冽,他感到好似背上浇了一桶冷水,浑身发凉。他裹紧围巾,翻起大衣领子,被人群推挤着恍恍惚惚向外走。录取无疑可以使他摆脱生活的困境,但是成为海军中尉毕竟不是他的理想。看来已经没有两全的妙策,只有听从命运的安排去海军部报到。正在这时,一辆马车飞快赶到,满头大汗的丹尼尔跳下车来一把将欧拉抱住。事情有了意想不到的转机。经过再三交涉,沙皇政府终于同意欧拉去科学院工作。欧拉简直不敢相信这个“天上掉下来”的喜讯。他握住丹尼尔的双手久久说不出一句话来,眼眶里闪烁着喜悦的泪花。

但是要高兴还为时过早。新沙皇为了镇压人民的不满和反抗,在彼得堡布满告密的奸细。流放和处决的消息不时传来。数学部有位同事因为传抄一首无名作者的无题诗,被遣送到西伯利亚。整个俄罗斯笼罩在恐怖的乌云之下。欧拉除了埋头工作,根本过不上正常的社交生活。1730年,小沙皇夭折,由彼得大帝的侄女安娜·伊凡诺夫娜即安娜女皇即位。科学院的处境有了相当改善。可是整个俄国在安娜的情夫恩斯特比龙的统治下,成为俄国历史上最恐怖的时期之一。欧拉只有用紧张的思考和不停的计算来摆脱他对血腥统治的恐惧和厌恶。忍受不了令人窒息的气氛,丹尼尔于1733年回到自由的瑞士。欧拉很快晋升为科学院数学部的负责人。想到自己将
在俄国长期居住,欧拉决定结婚。新娘柯黛玲是画家格赛尔的千金,温柔贤淑,持家有方。婚后家庭生活恩爱美满。然而政治气候更加恶化。欧拉想步丹尼尔后尘回瑞士工作。无奈小生命一个接着一个地出世,使离开的希望化为泡影。欧拉夫妇先后生育的子女达13个之多,堪与欧拉在科学上的多产相媲美。不过孩子也有好处。天伦之乐洗净他一天工作的疲劳,也使他暂时忘却彼得堡街道上的血雨腥风。欧拉是位慈祥而称职的父亲,他为子女的教育付出大量心血。每到晚上,孩子们围坐一圈,由欧拉亲自布置和检查他们的作业,解答他们的问题。他还编了许多数学趣题启发他们的思考。下面就是其中的一个:

“父亲临终时立下遗嘱,按下述方式分配遗产:老大分得100克朗和剩下的$\frac{1}{10}$;老二分得200克朗和剩下的$\frac{1}{10}$;老三分得300克朗和剩下的$\frac{1}{10}$;老四分得400克朗和剩下的$\frac{1}{10}$;依此类推分给其余的孩子。最后发现所有孩子分得的遗产相等。问遗产总数、孩子数和每个孩子分到的遗产是多少?”

一道初等代数的简单应用题,经过欧拉精心编写,大大激发起孩子们的学习兴趣。但是,最受孩子们欢迎的还是他那讲不完的故事和诗朗诵;而如果他得闲能和孩子们在一起唱歌游戏,消磨一个愉快的晚上,更使他们久久难忘。孩子们的嬉笑声和琅琅读书声时时从窗户飘出来,怪不得许多过路的行人以为,这里一定开办着一个很好的幼儿园呢!

欧拉是那种极为罕见的数学家,他能够在任何地方、任何条件下工作,一切外界的干扰都不能打断他聚精会神的思考。就在子女绕膝、笑闹之声不绝的环境里,在沙皇统治恐怖的浓重阴影下,一篇篇论文源源不断地从欧拉的手中流出。他用拉丁文写的论文深入浅出,雅俗共赏,字句极少改动。尤其是他创造了现代数学的语言,更使他的作品受到广泛欢迎。今天我们常用的数学符号,像用$\sum$表示求和,用$i$表示$\sqrt{-1}$,用$f(x)$作为函数的记号,用$\sin$、$\cos$、$\tan$表示正弦、余弦和正切,以至用$a$、$b$、$c$表示三角形的边,用$A$、$B$、$C$表示它们的对角,等等,正是欧拉所首创的。文章一写完,欧拉把它放在早已经叠得高高的一堆手稿上等待印刷。科学院学报需要材料的时候,只要派个印刷工人径自从那上面来取就是。这样,常常把先写好的手稿压在下面。所以,在欧拉的论文集里常有后写作的反而先发表那种怪现象。

柯尼斯堡七桥

1736年,姗姗来迟的夏天又匆匆离去。转眼间,欧拉在彼得堡已经度过10个春秋。身为科学院数学部的负责人,摆在他面前的研究课题有长长一串。眼下他正在修改一篇《论力学》的重要论文,准备付印。他为力学所作的,正是100年以前笛卡儿为几何所作的。他把微积分的全部威力第一次用来对付力学,使力学摆脱传统所采用的几何的综合论证方法的束缚而成为分析的科学,从而开创这门基本科学的现代新纪元。

吃罢午饭,欧拉点燃烟斗,拿起刚送到的信件阅读起来。这是难得的休息。亲友们生活上的问候和同行们在学术上的热烈探讨,犹如一道金色的阳光透过彼得堡灰蒙蒙的天空投射到他的心房,使他感到温暖。从欧洲各地向他求教的来信每天都有一大堆。今天有一封从柯尼斯堡的来信特别引起欧拉的兴趣。

18世纪东普鲁士的柯尼斯堡,就是今天俄罗斯的加里宁格勒。美丽的普雷格尔河水轻盈地流经这座僻静的小镇。河上旖旎的风光吸引小镇的居民来这里散步休息、野餐、垂钓。普雷格尔河上有两个小岛,从河的两岸分别有三座桥和它们相连;另外又有一座桥把两个小岛连接起来。时间一久,有位爱思考的居民提出来一个问题,一个散步的人能不能一次走遍七座桥,而且每座桥只能走一次?这个问题谁也回答不了。有人说可以,可是走来走去,始终没有走通;有人说不行,可惜又说不出令人信服的理由。这个不大不小的问题竟一下子难住全镇居民和外地游客。幸好有位小学老师出来解围,他想出一个好主意:为什么不写封信去请教在彼得堡鼎鼎大名的欧拉呢?

欧拉是出名的“好好先生”,他对别人的请求总是有求必应。无论是应邀撰写初等数学的教科书还是绘制俄国地图,无论是有关度量衡制度的改革还是设计一种检验天平的实用方法,基至连中小学生有解不出的“难题”来求教,也总能使他们如愿以偿。只要需要,不论它多么平凡,多么琐碎,他总会毫不犹豫地去完成。他从来不考虑这种“杂事”是否会影响自己的研究,降低自己的“身份”。其实,欧拉不仅仅把它当作自己应尽的责任,他对它们确实怀有浓厚的兴趣。你看,像柯尼斯堡七桥这类问题在数学上还没有人处理过。它显然不是我们所熟悉的代数问题,因为它不是研究数量的大小。它和平面几何也不相同。平面几何里的图形不是直线就是圆,是讨论它们的角度大小和线段长短。可是在柯尼斯堡七桥问题里,桥的准确位置无关紧要,陆地的大小和形状也不用考虑。重要的是考虑一共有几块陆地、几座桥以及它们的连接情况。根据这个特点,欧拉先把柯尼斯堡七桥画成一个线条图,在他的图形里,小岛和河岸变成了点,桥成了连接这些点的线。这样,问题就成为:从图上某一点开始,中间任何一条线不得画两遍,铅笔不准离开纸,能不能把这张图一笔画出来?经过一番思索,欧拉终于找到一个彻底而漂亮的答案。说它彻底,因为它给出了能否一笔画出一张“河-桥”图的明确条件;说它漂亮,因为它的条件非常简单,对于任何一张“河-桥”图,只要一两分钟就可以作出判断。

七桥问题的圆满解决使柯尼斯堡人心满意足。但是对欧拉来说,这仅仅是个开端。发现一块矿石意味着可能有巨大的宝藏。经过精心的开掘,欧拉果然发现一个只要考虑位置关系和性质的全新的数学领域——拓扑学,建立了网络的概念并且推导出拓扑学中非常有价值的关系式。拓扑学在近代有重大发展,它渗透到数学的各个分支,获得了广泛应用。比如,安排运输路线或邮递路线就得考虑这样的问题:怎样把货物或邮件送到指定地点而又不走回头路。

不嫌弃平凡的工作并且善于从中发现不平凡的内容,是欧拉难能可贵的品质。在欧拉琳琅满目、美不胜收的创作宝库里,珍藏着他为柯尼斯堡七桥、国际象棋中骑士的跳步等一类数学游戏所写的大量光彩照人的作品。

晴天霹雳

正当这位从巴塞尔来的年轻数学家以神话般的速度在数学的各个领域里一篇接一篇地发表独具匠心的论文的时候,晴天一声霹雳,欧拉的右眼瞎了!

天文学上彗星轨道的计算历来是数理天文学中的一大难题,因为它牵涉到两个以上的星体。没有计算机帮助,要想得到比较精确的结果,即使是一位极有才能的数学家,一般也要花好几个月的辛勤劳动。为了吸引科学家们的兴趣,1739年,法国科学院特别为这一课题设置巨额奖金,征求解答。欧拉决定在这个领域里施展一下计算才能。他对通常采用的方法作了一系列重大改进。尽管这样,计算仍是困难重重。可是一旦开始工作,要欧拉中途停顿简直不可能。他在书房里着迷似地干了起来,忘了吃饭和休息。饿了啃几口面包,困了就靠在椅背上迷糊一会儿。柯黛玲看着丈夫这样不顾一切地工作,只有干着急,爱莫能助。虽说进展神速,等他算出彗星的轨道,时光已经不知不觉地过去3天。晨曦透过窗帘悄悄报告新的工作日的来临。欧拉的眼睛布满血丝,头昏沉沉的,身子疲惫不堪。他轻轻阖上刚写好的论文,随手推开窗户,张开双臂伸了个懒腰,突然眼前发黑,一头栽倒在地!欧拉在床上整整躺了一个星期。病后,他的右目完全失明了。

欧拉作为计算方法的大师,无疑从来没有人超过他,甚至连比较接近他的人也不容易找到。然而他的每项成就远不像人们所想像的那样轻而易举,他们以为,欧拉写一篇论文就像魔术师从手帕里变出一只鸽子一样,只消一眨眼的功夫。这是严重的误解。虽然历史上对于这次计算是不是欧拉右目失明的直接原因存在不同意见,但是在这一点上没有什么争论:欧拉作品里的字字句句,无不浸透着他的滴滴心血。欧拉的天资聪敏过人,可是历史上具有这样天赋的人才何止欧拉一个!而像欧拉这样对数学执著追求和不懈努力的人却是绝无仅有的。他和数学已经融为一体。形形色色的数学问题不用说,即使是粗看起来同数学毫不相干的问题,他也要从数学的角度一一加以分析推敲。欧拉的这种“爱好”一直保持到他生命的最后一刻。经过长年累月的锻炼,他的才思磨砺得超乎寻常的敏锐,解决问题的能力和速度也就远远超过一般人的想像了。

在柏林

1740年,普鲁士国王腓特烈大帝在柏林登基。腓特烈身材矮小,可是野心勃勃。他自诩为“欧洲最伟大的国王”,要“励精图治”,使普鲁士在各方面都雄踞欧洲之首。柏林科学院的现状使他失望,由于没有称职的领导人,科学院死气沉沉,最多只能在欧洲充当二三流角色。彼得堡科学院却是另一番景象。在欧拉领导下,那里人才辈出,成果累累,呈现一派蓬蓬勃勃的生气。因此当腓特烈打听到欧拉在俄国生活苦闷的消息,大喜过望。他立刻向欧拉发出“盛情”邀请,来挖彼得堡科学院的墙脚。

腓特烈的王宫金碧辉煌。仆仆风尘的欧拉一身便服前来谒见。腓特烈见到新来的数学家穿着皱巴巴的西服,围一条发黄的丝围巾,连礼帽也没有戴,心中很不高兴。这无异是对“最伟大的国王”不可容忍的怠慢。他爱理不理地敷衍两句就拂袖而去。和国王貌合神离的皇后倒是十分殷勤。她看到欧拉的打扮和风度与众不同,想同他好好聊聊。可是,欧拉在俄国几乎与世隔绝地沉默了10多年,他担心皇后连珠炮式的问话是不是别有用心。

“您为什么不愿和我谈话?”皇后不解地问。

“夫人”欧拉回答说,“我来自一个这样的国家,谁多讲话,谁就要上绞架。”

欧拉没有把宫廷不愉快的谈话放在心上。他的心早被一大堆数学问题所占领,已经容不下其他的琐事。这些日子他一直在考虑,怎样对17世纪最伟大的发明——微积分作系统的介绍。因为自从牛顿-莱布尼兹建立微积分以来,它在物理学、天文学、航海学和工程学等广大领域里已经显示出无比威力,并且由此产生一系列的新的分支,如微分方程、无穷级数、变分法、函数论等,迅速形成一个数学中最庞大、最重要的分支——数学分析。数学家热衷于分析这些新分支的发展。但是要做到这一步,首先必须扩展微积分本身。牛顿-莱布尼兹创造了微积分基本方法,可是从它的逻辑基础到应用还有大量问题有待解决,而为了让更多的人掌握分析的武器,还需要扫除从初等代数过渡到微积分的重重障碍。欧拉决心肩负起这项艰巨而有意义的任务;在当时健在的数学家中,的确没有谁比他更胜任这项工作的了。不久,遐迩闻名的《无穷小分析引论》和《微分学原理》两部杰作先后问世。连同他后来在彼得堡出版的《积分学原理》,它们都是分析中里程碑式的经典著作,为鼓舞和造就一批批有才华的青年成为伟大的数学家建立了不朽的业绩。先有拉格朗日、拉普拉斯,后有高斯、柯西、黎曼等,这些大数学家都是在欧拉著作的指引下迈进庄严的数学宫殿的。甚至今天大学课程里的某些内容,实际上仍和200多年前欧拉留下来的一样。欧拉在分析上所表现的高深造诣和超凡技巧,立刻博得“分析学的化身”的美誉。

欧拉关于数论的大部分工作也是在柏林完成的。17世纪大数学家费马生前提出的大量重要而有趣的命题,到今天为止,世界上还没有人能把它们全部证明出来,惟有欧拉证明了其中的大部分。不仅如此,许多命题他还进一步加以引申推广。特别是在1745年前后,他发现了18世纪数论中最重要的定理——二次互反律。这是一项极其了不起的成就。后来的数学家们为探求它的含义引申出大量极有意义的成果。

但是,欧拉在柏林期间最杰出的成就是关于变分法的工作。在儿童游乐场里,你一定见到过孩子们喜爱的滑梯吧。顺着后面的梯子一级级爬到顶部,身子往滑槽里一坐,哧溜一下就滑到了地面。可是有谁想过,从顶部A到着地处B,滑梯做成什么样才最省时间呢?有人可能会说,这很简单,把滑梯做成直的就行啦,因为这样从A到B的距离最短(如下图左)。直线距离最短是不错;可是,距离最短并不等于时间最省,因为他还没有考虑到速度大小呢。要知道,直的滑梯下滑的速度是增加得比较慢的。那么,滑梯该做成什么形状才好呢?早在1696年6月号的《教师学报》上,欧拉的老师约翰·伯努利就把它提出来向其他数学家挑战。提出这个著名的“最速降线问题” (如下图右)比欧拉的出生整整早了10年。这一类极大极小问题还可以举出许多。它的萌芽可以追溯到希腊以前的时代。在古代,传说迦太基人建造城市的时候允许居民占有一天犁出一条沟所围成的土地。由于一个人在一天里犁沟的长度一般是确定的,所以对他来说,问题就是应该把沟犁成什么形状所围的面积才最大。

约翰·伯努利的难题在提出以后的第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯努利和约翰·伯努利本人先后给出了解答。可惜他们的工作只到这里为止。在约翰·伯努利的建议下,欧拉在1728年开始涉足这个困难的领域。他从研究曲面(主要是地球)上的测地线问题着手,就是连接曲面上(地球面上)的两点,什么样的曲线距离最短?欧拉很快找到了答案。不久,他把最速降线问题加以推广,并且考虑了摩擦和空气的阻力。接着,他又致力于寻找解决这类问题的更一般的方法。经过前后16年的不懈努力,终于获得成功。虽然他所采用的是分析和几何相结合的方法而不是纯分析的方法,论证十分复杂,但是最后的结果却同样简单而且优美,有广泛的应用。1744年,欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》在柏林正式出版。这部杰作立刻使他被公认为当时最伟大的数学家。随着它的出版,变分法作为一个新的数学分支诞生了。

10年后,数学界又升起一颗灿烂的新星。年方19岁的拉格朗日受到欧拉方法的启发,开始研究变分法。欧拉得知以后,立即给予热情的鼓励。经过四年的努力,拉格朗日果然发现了解决这类问题的最佳方法。欧拉兴奋异常,他赶紧压下自己即将付印的有关著作,让拉格朗日的结果先发表。用欧拉的话说,“这样就不会剥夺你(指拉格朗日——引者注)所理应享有的全部光荣。”他知道私人信件里无论说得多动听,对年轻的拉格朗日毕竟帮助不大。因此在出版自己著作的时候,他着重声明,在拉格朗日提出这个方法以前,自己遇到了“不可克服的困难”。可以想像,作为一位在全世界享有崇高威望的大数学家,要在自己的著作中公开承认一位默默无闻的青年超过了自己,该需要何等的勇气和坦荡的襟怀!其实,这无须使欧拉感到难堪。牛顿不是说过吗,他之所以能看得比前人远些,只因为他是“站在巨人的肩上”罢了。在变分法方面,欧拉超过了他的老师约翰·伯努利;而今天,年轻的拉格朗日又走到欧拉的前头。“青出于蓝而胜于蓝”。科学的发展不是如同滔滔长江,后浪拥着前浪,奔腾向前,永不停息吗?不久,由欧拉推荐,年仅23岁的拉格朗日被选为柏林科学院的外籍院士。欧拉的高尚品质赢得科学界的广泛尊敬。在他的晚年,当时欧洲所有的数学家都以自己是他的学生而感到自豪。

但遗憾的是,腓特烈邀请欧拉不是为了分析和数论,也不是为了变分法。腓特烈只是要欧拉为他的科学院装点门面和给他的侄女迪莎公主当私人教师。可怜的数学家不得不每天从宝贵的时间里挤出两三个小时花在这位骄傲的公主身上。欧拉不甘心让公主独享美果。他把丰富多彩的授课内容用信的形式公开发表。他那优美流畅的文笔使人们吃惊地发现,欧拉的文学才能被大大地低估了。著名的《致德国公主的信》立刻用7种文字翻译出版,风靡一时。

这一切还不足以耗尽欧拉无穷无尽的创造精力。他还为普鲁士政府解决了诸如铸币、城市水道、运河、保险金和养老金制度等一系列重大的实际问题。特别是由于他的卓越领导,使濒临绝境的柏林科学院重获新生,一跃成为欧洲最有影响的科学院之一。

好像神奇的园丁,欧拉所到的地方无不繁花似锦,生意盎然!

无法容身

但是谁会想到,欧拉在柏林的生活甚至比在彼得堡更难受。说来也不奇怪,一群大臣贵族整天围着腓特烈转,令人作呕的歌功颂德和阿谀逢迎早已使他飘飘然。试想质朴的欧拉一不会吹牛,二不会拍马,在腓特烈国王面前不亢不卑,直言不讳,岂能不遭白眼?虽然腓特烈以科学保护人自居,可是他不懂数学,也不喜欢数学,更看不上“直愣愣”的欧拉。他甚至公然奚落欧拉是“独眼龙”!

欧拉不会机智地避开哲学问题的辩论,也使他自己吃了苦头。欧拉的学识渊博,举世公认。他不仅在自然科学各部门,而且在文学、音乐、神学等许多方面都有极深的造诣。可是,欧拉在哲学上却是个门外汉。他以为哲学只是诡辩学,见仁见智,不值得下功夫研究。当时腓特烈宫廷里有位红人,他就是18世纪多才多艺的法国大作家伏尔泰。这个人能言善辩,口若悬河,论战起来语言尖刻辛辣,毫不留情。他常常喜欢把单纯好奇的欧拉诱入哲学的迷宫,引得一班咬文嚼字的朝臣们在旁边挤眉弄眼,看热闹。结果可想而知,欧拉总是低头认输。在一片笑声中,欧拉自己也不由得温厚地笑起来。其实,欧拉只把辩论作为无伤大雅的消遣,倒不在乎它的胜负。他甚至颇为欣赏从伏尔泰那里招来的毫不容情的批评。然而腓特烈把辩论看得十分认真。书生气十足的欧拉使他失望。他要物色一位仪表堂堂、能应付各种场面的老练的哲学家来领导科学院和应酬他的宫廷。他决定邀请法国著名数学家、思想家达朗贝尔(1717—1783)来接替这个位子。达朗贝尔是位理想的人选。他对哲学深有研究,而且和欧拉在数学上关系有些冷淡。可是达朗贝尔不是这种人,可以让个人关系的好恶来左右自己学术上的判断。他直截了当地告诉腓特烈,想把任何人置于欧拉之上是痴人说梦。不想这个回答只是火上浇油。腓特烈恼羞成怒了!

实际上,欧拉和彼得堡科学院一直藕断丝连。即使在柏林科学院任职,彼得堡也照常支付他一部分薪金。同样,欧拉虽然身在柏林,仍为彼得堡寄去了上百篇论文,还不时对那里的事务提供咨询意见。1762年叶卡捷琳娜二世即位,俄国科学家的工作条件有了相当的改善。她热情邀请欧拉重返彼得堡工作。欧拉很清楚,自己仅剩的深受白内障折磨的左目绝对经不起彼得堡严寒的侵袭。不过他还是决定回去。柏林的气氛已经使他无法容忍。这位欧洲最有威望的数学家为腓特烈夜以继日地干了20多年,终于未能逃脱颠沛流离的命运。年近花甲的欧拉,拖着病体,偕同多病的柯黛玲和一大群子女,又一次餐风饮露,长途跋涉,来到冰雪覆盖、寒风怒号的彼得堡

重返彼得堡

欧拉在彼得堡受到异常隆重的欢迎。叶卡捷琳娜二世用王室成员规格礼待这位大数学家。她专门为欧拉准备好一幢雅致而舒适的住宅,配备了8名仆役,还委派一名御用厨师来管理膳食。

欧拉迫不及待地投身工作。可是好景不常。北方刺骨的严寒和紧张劳累的工作使他左眼的视力迅速恶化。这一消息引起拉格朗日、达朗贝尔等欧洲著名数学家的惊恐不安。他们纷纷向欧拉表示同情和慰问,希望他好好休息。早日恢复健康。按理说欧拉是该放下工作,安心休养一番了。他为数学已经足足奋斗30多年,获得了举世瞩目的成就;他的著作远远超过历史上任何一个最多产的数学家;特别是他为此已经献出自己宝贵的右目。现在,如果再不注意保养,他仅存的左目眼看又要失明。失明意味着什么,欧拉比谁都清楚。双目失明将使他成为生活上不能自理的残废,将再也看不见使他神往的计算公式和几何图形,看不见亲人的脸庞和美好的世界,一句话,他将坠入黑暗的无底深渊!可是他同样清楚,工作就是他的生命。要是生活中失去了他自己钟爱的计算,那么活着还有什么意义呢?不错,失明可以剥夺他看书写字的能力,可是夺不走他超群绝伦的才华,更休想夺走他热爱数学和献身科学的决心!他平静地等候着失明的到来,但是决不向黑暗低头。他决心用加倍的努力,来回答命运对他的挑战。

在最后失明以前,欧拉习惯用石笔在一块大石板上进行演算。他双目失明以后,决定由自己口授,主要让大儿子阿尔伯特来笔录。从查阅资料到论文写作中所遇到的种种意想不到的不便和困难,他只有用延长工作时间来弥补。他的创作精力使年轻人自愧不如。从他口中吐出的一字一句,慢条斯理,绵绵不绝,好似一条抽不完的丝线。这根无形的丝线把年轻人紧紧捆住,累得他们腰酸背疼。大儿子支持不住了,就由大女儿接着记。这位双目失明的老人凭着超乎寻常的意志和毅力,再一次创造出令人瞠目结舌的奇迹。他的科学成果在失明以后不但没有减少,反而增加了!除了厚厚3卷《积分学原理》以及《船舶制造和结构全论》等重要著作外,他还用每年800页的惊人速度发表了近400篇具有独创性的研究论文。今天,当我们手捧他的光辉论著,欣赏着那丝丝入扣的深刻分析和令人眼花缭乱的精巧计算,谁会相信它们的作者竟是一位双目失明的老人!

毫无疑问,这一切成就都和欧拉罕见的记忆能力密切相关。维吉尔的洋洋12大卷国民史诗《埃涅阿斯纪》,虽然他青年时代以来已经不再翻阅,仍能背诵如流。如果这还不足以显示他记忆力的无比高超,那么他还能告诉你,史诗每一页的第一句和最后一句是什么。他能不假思索地背出前100个素数的前6次幂。至于当时数学上的所有重要公式,不用说都准确无误地保存在他的记忆里。他的心算能力同样举世无双。不论是算术的、高等代数的还是微积分的,甚至那些对有才能的数学家在纸上作起来颇感棘手的计算,他都能应付自如。有一次欧拉的两个学生计算一个复杂的式子,他们在答数的第15位上差一个单位。为判定哪个正确,欧拉亲自心算了一遍。他的答案最后证明是对的。所有这些,现在都对他大有帮助,使他能泰然自若地面对黑暗的挑战。他失明以后还有一件事,说起来简直叫人难以置信。

在欧拉时代,要确定船只在海上的位置是一项极困难的工作。按当时的方法,纬度的确定还比较容易,只要通过对恒星的观察就可以解决。困难的是确定经度。它需要知道月球每时每刻相对于一个标准位置(17世纪后半期已经定为英国的格林尼治)的方位。这个方位要求有极高的精确度。假如角度上差一分,那么在经度上就会差半度。真是失之毫厘,差之千里。可是,要精确计算月球的方位真不容易,因为它牵涉到3个星球:太阳、地球和月球。这种“三体问题”是数理天文学中最困难的问题之一,甚至连牛顿对它也感到头痛。牛顿在《自然哲学的数学原理》第三卷中用几何方法研究过月球的运动,可惜用这个方法制作的月球位置表所带来的船只位置的误差高达160公里。这几乎是船只整整一天的航程,当然满足不了战争和航运事业的需要。各国政府和科学家为它绞尽了脑汁。英国专门成立“经度测定委员会”,并且设置高达20000英镑的奖金来征求解答。年迈的欧拉不顾自己已经双目失明,决定利用自己的分析对月球作一次透彻的计算。他的心血没有白花。欧拉的新方法把误差缩小到只有30公里。为了表彰他的功绩,英国海军部向他颁发了巨额奖金。

参天大树

双目失明仅仅是灾难的开始,不幸接二连三地向欧拉袭来。1771年的夏天严重干旱,彼得堡已经有50多天没有下过一滴雨。城市在烈日火焰般的烘烤下呻吟着,艰难地喘着气。傍晚时分,一间民房不慎失火整个街区像一堆干柴那样地燃烧起来,把天空映照得通红。欧拉正斜倚在沙发上,为一篇有关力学的论文打腹稿。等他听到外面惊慌嘈杂的响声和闻到扑鼻的焦烟气味,整个住宅已经被火舌吞没。欧拉急忙起来,摸索着向摆放自己手稿的桌子走去。不料在慌忙中脚被椅子绊住,身子重重地摔倒在地。呛人的浓烟滚滚而来,憋得他喘不出气。他挣扎着想站起来,可是四肢已经不听使唤。在这千钧一发的时刻,跟随欧拉多年的瑞士仆人彼得·克莱姆冲进屋来。他背起老主人转身就走。但是欧拉紧紧抓位门框不肯放手,要他丢下自己的心血去逃生绝对不行。他坚持要彼得用台布把一大堆尚未付印的手稿包好带上。时间已经刻不容缓,房子随时都可能坍塌。但是彼得执拗不过老人,只得遵命。当彼得背着失明而有病的老主人踉踉跄跄来到院子,只听得轰隆一声,图书馆倒了!整个住宅和全部家产随着冲天火光付之一炬,惟一幸免的是欧拉几千页尚未出版的手稿!

1776年,欧拉痛失了40多年来朝夕相处,患难与共的忠实伴侣——柯黛玲。无论是早年在彼得堡的血腥恐怖日子里还是在柏林的屈辱环境下,无论是在双目失明的悲痛岁月还是在火烧家园的不幸时刻,柯黛玲总是和他一起分担着痛苦和忧伤。她默默照料着偌大的家庭,使欧拉免去后顾之忧。现在,柯黛玲先他而去。欧拉抚摸着自己刚出版的新书怅然若失。由于孩子众多,自己又是行动不便的盲人,亟须一位能干的主妇来照料整个家庭,欧拉只得再度结婚。第二个妻子珊萝·亚佩吉·格赛尔,是柯黛玲同父异母的妹妹。

为恢复左眼视力的手术失败,宣告欧拉永远失去重见光明的希望。原来根据医生的诊断意见,通过手术可能使左眼恢复视力。手术十分顺利。欧拉心焦地计算着哪天能复明。他想像着又见到了灿烂的阳光,用眼睛来“抚摸”那一个个妙不可言的数学符号。一想到这里,他抑制不住内心的激动。可是希望又一次落空,患部发生了感染。经过一段难熬的拖延,他终于没有挣脱黑暗的无情魔掌。

但是,欧拉是棵高耸入云的参天大树。一切不幸和挫折,即使如逞凶的冰雹雷击,肆虐的风霜雨雪,也摧毁不了他旺盛的生命力,反而使他更苍劲有力,气势非凡!面对命运的重重打击,欧拉泰然自若,我行我素。这位巨人以他堆积如山的精心杰作向全世界证明,只要志向明确,意志坚强,锲而不舍,勇往直前,一个人,即使是一个盲人,也可以创造出人间奇迹!

前进吧,前进将使你产生信念

17世纪在英国点燃的工业革命之火,到欧拉时代,在整个欧洲已经形成燎原之势。发明和工业,扩张和财富,继地理发现之后的科学发现,这一切都给人们以信心。黄金时代正露出曙光,人类的心灵正从沉睡中觉醒。科学家热切地要去征服世界,去探索宇宙的奥秘。伟大的牛顿逝世那年,欧拉刚刚20岁。这时候,笛卡儿的坐标几何问世已有90年,微积分的建立大约已有50年,而物理和天文学的关键——牛顿万有引力定律已经在科学界流传了将近40年。在这些领域里,大量孤立的问题虽然已经获得解决,但是对当时纯粹数学和应用数学所面临的种种问题,却还没有来得及发动一场系统的全面的进攻。笛卡儿、牛顿、莱布尼兹所发明的强大的分析方法远没有开发到应有的极限。诱人地展现在欧拉面前的是一片广袤肥沃的处女地。

不过,18世纪的数学同今天相比,还显得相当粗糙。在欧拉时代,微积分的基础本身还不清楚,而且从诞生之日起就一直受到攻击;无理数的概念还模糊不清;连负数也遭到非议;对复数不用说更是错误百出。像欧拉所著《对代数的完整介绍》一书,1768年,1769年在俄国第一次出版,1800年在德国出版,是公认的18世纪最好的代数教科书,其中就有这样的错误:
$$\because\quad\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times{b}}\\\therefore\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-4}=\sqrt{-1\times{14}}=\sqrt{4}=2$$

今天的每个初中学生都知道,在根式运算中必须以$a$、$b$不小于零为前提。

但是,英国数学物理学家贺拉斯·兰姆说得好:“不亲自检查桥梁的每一部分的坚固性就不过桥的旅行者是不可能走远的。甚至在数学中有些事情也要冒险。”达朗贝尔更有一句为人们广为引用的名言:“前进吧,前进将使你产生信念!”18世纪的数学家正是在缺乏理论保证和逻辑支持的情况下,仅仅依靠一套明确的运算法则和数学的物理意义,勇敢地开辟前进的道路。他们对数学的方法确信无疑。分析在物理应用上所取得的不同凡响的成功使他们陶醉,而无暇顾及数学的严密性。在他们看来,追求证明的严密性似乎是自找麻烦。“为什么要用深奥的推理去证明那些人们根本没有怀疑过的东西呢?”因此,人们正确地称这个时代是英雄的时代,而欧拉更是英雄时代里的数学英雄。他凭借威力无比的分析武器,以磅礴的气势向数学各个领域发起猛攻,夺得了一个又一个令人惊羡的成果。他在微积分、微分方程、曲线曲面的解析几何和微分几何、数论、级数和变分法等领域中都有辉煌的成就。他把数学应用于力学,创立了分析力学和刚体力学。他的研究足迹遍及当时科学的一切领域。上至天文,下至地理,大到行星轨迹,小到分子运动,从潮汐理论到船舶设计,从声的传播、光的波动到人体的血液流动,从望远镜、显微镜的设计到梁的弯曲和弹道的计算,……范围是这样广阔,内容是这样深刻,以致要写出他的全部发明项目都需要好几页的篇幅,而他所提出的创见至今仍有待于我们用心研究的,还可以列出长长一串。怪不得仅仅为整理他没有发表的文稿就使彼得堡科学院足足忙碌了47年!欧拉为我们清理好场地,开辟出道路,把一切有价值的发现连接成一个整体。正是在这个基地上才建起今天繁荣的现代数学之城。可能在欧拉著作中有个别结论在今天看来是不成熟的,甚至是错误的,但是正像白壁的瑕疵,太阳的黑子,时代的局限性毕竟掩盖不了他那光芒四射的成就。因此,大数学家高斯极其公正地指出:“研究欧拉的著作始终是各个数学领域里最好的学校,没有任何别的可以代替它。”拉普拉斯也满怀敬意地提到这位可敬的长者:“读读欧拉,读读欧拉,他是我们大家的老师。”

1783年9月18日,像往常一样,全家还在睡梦之中,欧拉已经摸索着起床。老仆人轻轻地把他搀扶到花园里,坐在安乐椅上。彼得堡秋天的黎明凉气袭人。远处屋顶上袅袅炊烟和地平线上轻柔的晨雾,在早霞衬托下把城市点缀得五彩缤纷,富有诗意。偶尔传来马车驰过的辚辚声和行人的脚步声。随着城市的苏醒,老人永不疲倦的大脑开始了一天的工作。不久前,法国航空先驱者约瑟夫-米歇尔·蒙戈尔费埃和雅克-艾蒂安·蒙戈尔费埃兄弟搭乘充满热气的气球成功地飞上天空。现在欧拉正在凝神思考,怎样用数学来描述气球冉冉上升的运动。中午,欧拉和家人有说有笑地共进了午餐,饭后在沙发上假寐片刻。天王星是新近发现的,他思索着说出它的轨道。这个结果同观测数据正好符合。老人感到有点疲乏,想稍稍休息一下。他一边喝茶,一边逗孩子玩耍。突然,一阵晕眩,烟斗从手中掉落。欧拉只来得及轻轻说出一句话:“我不行了。”这位一生奋斗不息、为数学无畏地献出自己双目的老人,终于“停止了计算,也停止了生命”。

转载请注明:究尽数学 » 大师中的大师——欧拉

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