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拉格朗日

大师风采 huijiaorz 96℃ 0评论

数学科学的一座巍峨的金字塔

约瑟夫·路易·拉格朗日是18世纪法国最伟大、最谦和的数学家。他在数论、代数方程论、微积分、微分方程以至天文学和物理学等领域都有独特的贡献;他和欧拉一起缔造了变分法,并且在这个基础上创立了分析力学。法国皇帝拿破仑一世称他是“数学科学的一座巍峨的金字塔”。他请拉格朗日当上议院议员,授予伯爵爵位和各种荣誉勋章。撒丁国王阿马戴乌斯三世和普鲁士的腓特烈大帝也给予他许多荣誉。同时代的著名数学家傅里叶对他更有一个全面的评价:“拉格朗日在整个一生中,以他欲望的适度和对人类命运的不可动摇的关切,以他生活的简朴和品格的高尚,最后,以他科学工作的准确性和深刻性,证明了他是一位伟大的数学家,也是一位哲学家。”

心灵的召唤

1736年1月25日,屋顶上的积雪在阳光下闪闪发光,亮晶晶的水滴顺着屋檐淅淅沥沥地奏起悦耳的乐曲,一种说不出的欢乐和紧张不安的气氛笼罩着亚平宁半岛西北部的都灵城里一幢赭红色的宅院。当玛丽·拉格朗日太太抱起哇哇啼哭着的婴儿的时候,双唇不禁微微颤抖,泪水顺着面颊扑簌扑簌地往下掉。命运总是和她作对,每当她刚刚尝到欢乐的甜头,就引来无限的惆怅。约瑟夫已经是她的第11个孩子啦,可是上面的10个孩子降生不久,都被无情的病魔夺去了生命。

这一次,命运终于露出笑容。约瑟夫长得白白胖胖,逗人喜爱。笼罩在拉格朗日家的不安气氛被孩子清脆的笑声驱赶得无影无踪。约瑟夫·路易·拉格朗日兼有法国和意大利的血统。祖父是法国的炮兵队长,受聘来到都灵为撒丁王国服务,和当地一位名门闺秀结婚以后,就在这里定居下来。父亲一度是撒丁陆军部的司库;母亲玛丽是坎培诺一位富有的物理学家的独生女。活泼可爱的约瑟夫一诞生,就成为全家的中心。不过父母亲没有把他整天“含在嘴里”。他们对孩子提出严格的要求,并且亲自指导他的学习。

小拉格朗日性格沉静。可能是因为没有兄弟姐妹的缘故,他难得一个人到花园里嬉耍。他喜欢和爷爷一起在书房里消磨时光。那里的每一本书,每一册画,白发苍苍的爷爷都能给他讲一则动人的故事。爷爷的神情是那么庄重,他说的话是那样富于感染力,听着听着,小拉格朗日仿佛来到尘土飞扬的大道上,看到奴隶们在烈日下拖着沉重的脚镣蹒跚前行,他们的背上印着道道血痕;又好像站在农夫阴暗的茅舍门前,听见小女孩跪在床前低声抽泣,骨瘦如柴的母亲已经奄奄一息;……等到爷爷讲完故事,小拉格朗日已经泪痕满面。故事的悲惨情节把他深深打动了。

在学校里,拉格朗日最喜爱古代语言。他不但通晓希腊语和拉丁语,还能写一手好文章。他一直记得,头发花白的语文老师拿着他的文章用抑扬顿挫的声调在班上朗读的情景。有人说,数学家应该是诗人。这句话有点道理。数学家不是干巴巴的“计算机器”,只知道和各种“枯燥无味”的数学符号打交道。从历史上看,几乎一切的大数学家,像笛卡儿、费马、牛顿、莱布尼兹,以至后来的欧拉、高斯、柯西、罗巴切夫斯基等,他们对文学,对古代语言无不具有强烈的爱好和极高的修养。我国的华罗庚、苏步青等著名数学家也有许多诗文佳作,在文学上有相当的造诣。这显然不是偶然的巧合。因为一个好的数学家,不但要有机敏精细的头脑,还需要有诗人般的想像力。

放学回家,拉格朗日独自一个人关在书房里,爬上小梯子在书架里东找西翻,尽情浏览。他博览了数不清的哲学、历史、文学和艺术的经典著作,也看了许多欧几里得和阿基米德的数学著作。希腊数学家的杰作,构思巧妙,立论严谨,每一个专题都称得上是数学科学的一颗明珠。伟大的阿基米德的创造天才和孜孜不倦的钻研精神,赢得拉格朗日的深深景仰。不过,他对几何的方法总感到不满足。因为用这种方法解决问题,没有一致的固定程序可以遵循,需要有极高的技巧,而它所解决的问题往往只局限于所考虑的特定图形。有一天,他在一堆亚里士多德的著作里,无意中翻出一本灰白色封皮的小册子。虽然只有薄薄几页,却有一个极长的书名:《微积分简介——微积分方法和它对于希腊几何方法的优越性》,作者是牛顿的朋友哈雷。一本科普读物和古希腊的经典哲学著作夹在一起,显然是放错了地方。他不觉信手翻阅起来。如果有人说,一部好的科普作品可以产生一个伟大的科学家,恐怕谁也不会相信。不过,拉格朗日确实是受到哈雷作品的启发,走上献身数学科学的道路。在这样一个事实面前,拉格朗日受到巨大的震动:和历史悠久的希腊几何相比,微积分不过是刚刚脱离襁褓的幼儿。可是,就
像《封神榜》里的哪吒,年龄虽小,本事却无比高强。无论在数量上还是难度上,他竟然创造出连几何“爷爷”都梦想不到的奇迹。他怔怔地拿着哈雷的小船子,满脸通红,眼睛里放射出奇异的光彩。对分析的热情在他的心中熊熊燃烧。他听到自己心灵在召唤:这是一项值得终身为之奋斗的事业!

从此以后,在拉格朗日的房间里,古希腊的哲学名著让位给牛顿的《自然哲学的数学原理》;欧拉浩瀚的论著挤走了古典的文艺作品。夜深了,家里的人早已进入梦乡,拉格朗日的房间仍然亮着灯。看到孩子废寝忘食地攻读,母亲不得不穿起衣服来干涉。拉格朗日是听话的孩子,他答应妈妈看完这一节就休息。可是看好以后,他躺在床上,辗转反侧,怎么也睡不着。他悄悄爬起来,用一块黑布把油灯遮上,想稍微再看上几页。心想知道了下文的概略或许可以安睡了。谁知一捧起书本,他竟把自己的约束忘得一干二净。欧拉无疑是数学分析方面举世无双的大师,他的著作流畅自然,浑如天成。看了上一节不由得你又急着想看下一节。拉格朗日流连在繁花似锦的分析园地里,完全着迷了!就这样,拉格朗日在书桌旁送走一个个阴冷的黑夜,在求索的喜悦中迎来霞光万道的黎明。经过日日夜夜的精心雕凿,璞玉焕发出璀璨的光辉。教师和同学都惊讶地发觉,和他的数学才华相比,拉格朗日的文学成绩简直不值一提。“分析学家”的美誉很快传遍全校。到毕业的时候,老师特别把他推荐到著名的都灵炮兵学校,向未来的炮兵军官讲授高深的数学理论。

挑战

皇家炮兵学校坐落在都灵的东南,是一幢三层楼哥特式的建筑。两旁婀娜多姿的菩提树,像欢迎的行列一直通向大门。年龄刚刚19岁的拉格朗日来这里讲授弹道学理论的消息,引起学生们的巨大好奇。他们挤在校长室的门口,都想一睹青年教授的风采。拉格朗日穿一件深褐色的长袍,身材修长;高高的鼻梁,下巴瘦削,配上一对机敏的眼睛,显得十分精神。他说话不多,轻声轻气地,与其说他是数学家,倒不如说像文静的姑娘。看着新来教师腼腆的模样,校长的心里不禁嘀咕起来:聘请这样一个还带着几分稚气的年轻人来担任数学教授是不是太冒失?幸亏还没有等他想出一个不损伤青年自尊心的辞退方法,事实已经作出回答。拉格朗日端庄的举止和学术上的精湛造诣把同事们彻底征服了;他和蔼可亲的态度和精细入微的分析讲解博得同学们的交口称赞。校长心头的疑虑顿时烟消云散。不过,总还有个别的“老顽固”想试一试这个“乳臭未干”的小青年的真本事。有一次,一个同事好不容易从《难题集锦》一类书本中找来几个“难题”,来向他挑战。这当然找错了对象。拉格朗日解答这类问题,轻松得就像在做最简单的小学算术题。

这时候,拉格朗日要挑战的是变分法,这是难住了当时著名的大数学家欧拉的一个难题。在本书第6章里,我们介绍过产生变分法的那些求极大或极小值的实际问题。在数学上讲,就是求某个“泛函”的极值。泛函和常见的函数不同,它的定义域是由一些函数构成的集合而不是通常的点集。这使得问题异常棘手。欧拉经过10多年的努力,利用几何和分析相结合的方法来求极值曲线取得成功。不过他的论证极其复杂,应用的范围也受到限制。尽管存在这些缺陷,能够在这样困难的领域里取得进展,还是受到高度的赞赏。欧拉立刻理所当然地被公认为当时健在的最伟大的数学家。俗话说:“初生牛犊不怕虎。”初出茅庐的拉格朗日没有被欧拉的名声所吓倒,更没有在变分法的难度面前畏缩。他发现欧拉的方法“不具有用纯分析方法来解决一个问题所希望的那种简明性”。他决心另辟蹊径,找出一种比较简便的、统一的方法来。他写信征求老前辈欧拉的意见。欧拉自己也曾经探索过用纯分析方法来求极值曲线,可是,用他自己的话说,他遇到了“无法逾越的障碍”。看到都灵一个默默无闻的青年居然有这样的雄心壮志,欧拉大为吃惊。不过,老欧拉有宽阔的胸怀和自知之明。年轻人发誓要超过他,他不认为是触犯了自己的尊严。他清楚,人类向科学高峰的攀登是一项无比壮丽的伟大事业。它不是一个天才的工作,也不是几个天才的工作。这需要一代人踩着上一代人的肩膀,一代一代地向上攀登。在变分法领域里,欧拉走到了自己的老师约翰·伯努利的前头,现在,都灵的一个青年摩拳擦掌地要冲到自己的前面去了。他没有不快或妒意,只有无限的欣慰之情。老欧拉愉快地摊开稿纸,写了一封热情洋溢的回信。

征服

欧拉的回信,吹响了向变分法发起总攻的冲锋号。拉格朗日精神抖擞地投入战斗。一间不到20平方米的书房成了伟大决战的战场。在这里,既听不见刀光剑影的厮杀声,也闻不到硝烟迷漫的火药味。运筹帷幄的拉格朗日端坐在椅子上岿然不动,只有偶尔轻轻发出的“啊!”或“晤——?”才打破这里凝重的寂静;从他的鹅翎笔下飞快地写出一串串复杂的符号和式子,只有从堆积得愈来愈高的稿纸才可以感到时光的流逝。

不幸,好事多磨。正当战斗进行得难解难分的时刻,飞来了意想不到的横祸,父亲突然宣告破产。万贯家产顷刻间被变卖一空。拉格朗日只好迁出自己心爱的书房,寄居到一位远房亲戚的家中。这位亲戚膝下只有一个年轻的女儿——奥薇拉。空荡荡的大房子很欢迎有一个男青年来同他们作伴。母亲含着眼泪送他到亲戚家的门口。离开母亲,拉格朗日心情沉重。不过,卸脱了沉重的财富包袱,却使他有说不出的轻松。平日来往的富家子弟纷纷不辞而别。再也不用担心恼人的应酬或宴请来打扰他潜心的思考,也不必为处置庞大的家产而发愁。他在晚年真诚地谈起这件事:

“如果我继承可观的财产,我在数学上可能就没有多少价值了。”

这番富有哲理的话,多么发人深思!

除了到学校讲课,拉格朗日关在房间里足不出户。连续工作几十个小时,对他是件常事。寂静的夜晚,是他思考问题的最好时光。他不会抽烟。在困倦的时候,他就泡一杯浓茶或煮上一壶咖啡。奥薇拉对他十分关心。姑娘比他大两岁,长一头金黄的头发,婀娜多姿。虽说家里有仆人,每天的点心总是她亲自送到他的桌旁。在寒气逼人的深夜,她悄悄地来到身旁,把衣服披在他的肩上。离去的时候,回眸对他嫣然一笑,留下一片女性的温馨。可是到第二天清晨,姑娘捧着芬芳的郁金香推开房门一看,心中不由得一阵难过。放在他桌子上的点心纹丝未动,却在旁边堆起了厚厚的草稿。他的头微微前倾着,庄严得像尊雕像。他一手扶着椅把,一手握着鹅翎笔,披在肩上的衣服滑落在地上。房间是这样的静谧,好像连空气都静止不动了。姑娘含着泪赶忙退出来,把门掩上。

窗前的梧桐树,凋零了又抽出嫩芽,茂密了又落叶纷纷。拉格朗日开始向变分法挑战的时候,树梢还在窗户的上方,现在已经高高蹿出屋顶。1759年1月,经过4年不懈的努力,拉格朗日终于为范围广泛的极大极小问题找到了真正的纯分析的解法。这种方法,甚至连它的记号,除了个别的改进外,直到今天仍在普遍采用。老欧拉衷心地向这位都灵青年表示祝贺,并且愉快地承认,这个方法使他克服了“多年来一直没有能够解决的困难”。同一年,由欧拉推荐,年纪不过23岁的拉格朗日当选为柏林科学院的外籍院士。这一不同寻常的荣誉,对于撒丁王国来说无疑是头等的喜讯。消息传来,皇家炮兵学校一片欢腾。师生们聚集到楼前,把拉格朗日抬起来,抛向空中。撒丁王国国王阿马戴乌斯三世派御用马车把青年数学家接到王宫,准备大大奖励一番。可是拉格朗日既不喜欢高官厚禄,也不稀罕荣誉勋章。被外国的科学院选为院士,固然值得高兴,但是,他感到美中不足:为什么不能有撒丁自己的科学院呢?所以,他在国王面前只有一个简单的要求:在都灵成立一个学术团体。国王当场慷慨地答应资助。后来,这个团体发展成为都灵科学学会,对撒丁科学的发展起了重大的作用。

1759年11月,学会的第一卷论文集在拉格朗日主持下出版。他以《论确定不定积分公式的极大极小的一个新方法》为题,正式把自己发明的方法公布于众。拉格朗日通过在两个端点引进一条曲线,而不像欧拉那样去改变极大或极小化曲线的个别坐标,很方便地推导出欧拉的全部结果。他在文章中更提出一个大胆的计划,要把变分法应用到力学,推导出刚体力学和流体力学的全部公式。他不是在这里自吹自擂。30年以后,他实现了自己的诺言:拉格朗日的第二篇论文,是把微积分应用于概率论,大大推动了概率论的发展。年轻的巨人还不满足。他在第三篇论文《自然界及声音传播的研究》中进一步推进了牛顿的声学理论。他把声音的传播精细地看做一条直线上所有的空气质点在振动作用下一点接一点地沿着直线运动。在数学界引起强烈反响的第四篇论文,是他提出了振动弦的数学公式,对振动理论的发展作出贡献。

拉格朗日作为主编,还为论文集的其他作者不声不响地提供过许多宝贵的意见。其中有一篇关于船舶的论文写得是这样出色,以致撒丁国王决定把名叫福赛纳克思的作者提拔为海军大臣。撒丁国王哪里知道,论文写得这么好,完全是拉格朗日作了精心修改的结果。怪不得他感到纳闷,为什么从此以后再也见不到这位大臣的高水平的论文啦。

都灵的论文集像投下一块巨石,在欧洲激起层层波澜。人们都以无限惊羡的目光注视着这位精力充沛的青年,他奇迹般地征服一个又一个高峰。没有任何东西可以阻挡拉格朗日青云直上。他不到24岁,已经同最负盛名的欧拉和伯努利兄弟齐名了。

达朗贝尔

拉格朗日的成就使欧洲的数学家瞠日结舌。欧拉和达朗贝尔更是渴望着见一见这位才华洋溢的青年同行。他们打算把他请到柏林科学院来工作。可惜,为了说服刚愎自用的腓特烈大帝,整整交涉了7年。等到拉格朗日风尘仆仆地来到柏林,欧拉和达朗贝尔已经各奔东西了。

达朗贝尔比拉格朗日年长20岁,虽然还没有见过面,却已经深深爱上了这位腼腆的青年。从1759年以后,他和拉格朗日在学术上相互切磋,生活上相互关心,通信常年不断。这种感人的友谊一直保持到达朗贝尔生命的最后一刻。

让·勒朗·达朗贝尔是贵族的私生子,他取名于巴黎的一座小教堂——圣·让·勒朗。在秋天的一个深夜,达朗贝尔被他的生母遗弃在这座教堂的台阶上。等到天亮,看门人打开大门,可怜的弃婴已经奄奄一息,哭不出声音。教堂的主事赶紧把他抱给附近的一位陶工抚养,陶工夫妇虽然一贫如洗,却待他亲如骨肉。达朗贝尔的生母私下打听到儿子在什么地方。后来达朗贝尔显露出不凡的天赋,她哭着想把他要回去。陶工夫妇不忍心拒绝她的要求,何况孩子的生父还是一名贵族呢。可是小达朗贝尔并不把优裕的物质生活放在眼里。

“你只是我的继母,”孩子冷淡地对她说,并且指着陶工的妻子接着说,“她才是我真正的母亲!”

后来,达朗贝尔成了法国科学界的大人物。他尽心报答可敬的陶工夫妇,骄傲地称他们是自己的父母。

达朗贝尔曾和狄德罗合编大百科全书,是法国主要启蒙思想家之一。在科学上,他第一个给出著名的岁差问题的完全解答;他在《动力学论》中提出有名的“达朗贝尔原理”,使动力学的基本规律可以作为静力学来处理,为后来拉格朗日统一力学的工作提供重要的依据;他关于振动弦的理论使他和丹尼尔·伯努利一起成为偏微分方程的创始人。达朗贝尔的著作深入浅出,通俗易懂,深受公众的喜爱。

达朗贝尔异常器重拉格朗日这位都灵青年,不断鼓励他向高难度的重大问题进攻。因为达朗贝尔自己的健康状况不佳,他要拉格朗日注意身体健康,不要过多地进行“超时工作”。在一封信里,他批评拉格朗日用茶叶和咖啡来提神;在另一封信里,他介绍拉格朗日看一本有关科学家疾病的医书。可是达朗贝尔苦口婆心地劝诫只得到一句简单的回答:“我正发疯似地工作,并且感觉良好!”

捷报频传

在这些日日夜夜,拉格朗日正在为太空中星球的运动绞尽脑汁。由于航海的需要,天文学统治着18世纪的物理研究领域。和这个世纪的其他大数学家一样,牛顿力学的这种应用是拉格朗日一生中重要的兴趣之一。月球的运动受到他们特别的注意。因为确定船只的位置需要知道月球的精确的方位;同时,月球运动还可以用来预报日蚀和月蚀,这对数学方法以至整个天文学理论无疑是一种激动人心的检验。拉格朗日首先解决的一个重大课题是月球的天平动问题:月球虽然总以同一个面对着地球,但是在地球上观测月面却有上下和左右的摆动,这就是所谓天平动,它表明月球环绕着月心在作周期性的摆动。这是有名的“三体问题”的又一个例子。为了天平动问题的圆满解决,拉格朗日荣获1764年的法国科学院大奖。

这一重大胜利鼓舞法国科学院提出一个更加困难的课题:计算木星的卫星轨道。在当时,木星的卫星只发现4颗,因此木星系统(太阳、木星和它的4颗卫星)就是一个“六体问题”。即使在今天,我们还找不到这类问题的彻底的精确解。拉格朗日利用近似的方法,用几个不等式来表达,取得可观的进展,从而赢得1766年的法国科学院的奖金。

不久,令人羡慕的这一奖金又被他的《论三体问题》的论文所夺走。我们知道,三体问题在一般情况下得不到精确解,但是拉格朗日在这篇论文中得到了三个特殊的精确解,其中的一个解是:假如3个物体从一个等边三角形的3个顶点开始运动,那么它们就好像固定在这个三角形上,而这个三角形本身围绕着三物体的质量中心转动。对拉格朗日来说,这个解并没有实际的例子,只不过是数学推导的结果罢了。想不到经过一个半世纪,在1906年,人们发现这一情形正好适用于太阳、木星和一颗名叫阿基里斯的小行星(小行星588号)。后来,他对月球的运动和彗星的摄动,也取得了类似的成功。

捷报频频传来,给宁静的都灵城带来兴奋和欢乐。1766年3月,都灵风和日丽,春色撩人。撒丁国王决定趁明媚的春光请拉格朗日到巴黎和伦敦作一次公费旅行,到那里去观光游览,会见同行。说实在的,撒丁国王不愿错过提高撒丁王国国际威望的大好机会。

蹄声嘚嘚,车轮飞滚。四匹骏马载着撤丁王国的科学使者风驰电掣般昂首飞奔。马车在坑坑洼洼的道路上颠簸。拉格朗日浑身轻松,尽情享受着难得的休息。阿尔卑斯山上仍是白雪皑皑,道路两旁的田野却已经一片翠绿。在儿童时代,他坐过这样的马车。那是20多年以前的事了。那时候,每到夏天,他总要和妈妈一起到坎培诺的外婆家去度假。外公每天带着他在海滩沐浴地中海灿烂的阳光,欢快地捡着美丽的贝壳。在他的书桌上,现在还放着一只插鹅翎笔的大海螺呢。他最爱吃外婆做的甜馅饼,焦黄的酥皮,夹着厚厚的果酱,又香又脆!如今,外公外婆已经安眠在坎培诺的一块白色墓碑下,他再也吃不到这样美味的馅饼啦。儿时的回忆又甜蜜又惆怅,不知不觉把他带进梦乡。……

马车一驶进巴黎宽阔的街道,拉格朗日立刻置身于友谊的海洋。巴黎热烈欢迎他的到来。达朗贝尔像久别重逢的亲兄弟,同他紧紧拥抱。他高兴地会见了巴黎知识界的知名人士。频繁的应酬忙得他晕头转向。最使他苦恼的还是那豪华的宴会。长期不知疲倦的操劳,严重损害了他的肠胃;并不富裕的收入,使他只习惯于清淡的食物。他脆弱的消化系统怎么抵挡得住那一道道法国的、意大利的色彩缤纷、香气四溢的佳肴所组成的滚滚洪流?他病倒了。剧烈的呕吐和疼痛,彻底打消他继续旅行的念头。尽管撒丁驻英国的公使卡列西奥里正在伦敦为他的到来积极张罗,一俟身体稍稍康复,他就迫不及待地返回都灵。这时候,普鲁士腓特烈大帝的一封邀请信正端放在他深褐色的书桌上。

我不知道

如果说在7年前,当欧拉和达朗贝尔为拉格朗日来柏林科学院工作奔走呼号的时候,腓特烈大帝对都灵这个名不见经传的青年还瞧不上眼,那么现在他最担心的是,拉格朗日会不会被别的科学院抢走。正主持柏林科学院的欧拉已经提出辞呈,老欧拉心直口快,即使在堂堂的普鲁士国王面前也直言不讳,不留情面。这引起一生追求虚荣的腓特烈的不快。他粗暴地称欧拉是“吵吵嚷嚷的独眼龙”,一心要把他撵走。无论从哪一方面来衡量,再也找不到比拉格朗日更理想的人选。拉格朗日的学术地位和欧拉并驾齐驱;他对哲学深有研究;尤其使腓特烈中意的是,拉格朗日的谈吐举止高雅得体,一看就知道出身于高贵的门弟,绝不像欧拉,是个贫微的乡村牧师的儿子!因此,腓特烈向拉格朗日发出邀请:“如蒙您屈驾光临,我就有幸在我的科学院里,以一位有两只眼睛的数学家来代替只有一只眼睛的数学家,这对解剖部门来说,尤其是一个喜讯。”

腓特烈的“诙谐”使拉格朗日恶心。自命不凡的普鲁士国王对待科学家的粗鲁态度,在这封冠冕堂皇的邀请信里表现得十分露骨。但是,为年轻的拉格朗日的前途着想,达朗贝尔和朋友们还是劝他到柏林去,虽然达朗贝尔本人曾经轻蔑地回绝过同样的邀请。因为不管怎么说,作为伟大欧拉的继承人,这个事实本身就是非同寻常的荣誉。在朋友们的再三劝请下,拉格朗日勉强地应允了。

初冬的柏林,天气阴沉。1766年11月6日,从都灵远道而来的拉格朗日在皇宫受到腓特烈大帝隆重的欢迎。矮小的国王踮起脚跟,洋洋得意地拍拍青年数学家的肩膀宣称:“欧洲最伟大的君主”在他的宫廷里荣幸地有了“最伟大的数学家”。至少,后一个称号并没有夸张。拉格朗日被委任为柏林科学院物理-数学部主任。

但是,这个差使远不像想像的那样轻松愉快。虽然腓特烈表示热烈欢迎,普鲁士的科学家们却憎恶由一个异国人来这里发号施令,何况这个撒丁人才30出头!他们暗地里称他是腓特烈的“进口 货”,有时甚至当面和他顶撞。幸好这位第一流的数学家有第一流的涵养。坎坷的家庭经历教会他怎样应付这些不愉快的场面。想当年,父亲一宣告破产,平日一副亲热面孔的“好”朋友,一夜之间成为陌路人。同他们相比,这些普鲁士人毕竟有正当得多的理由。面对牢骚满腹的同事,拉格朗日总是那么谦虚温和,彬彬有礼。他从来不摆起架子来指手画脚,相反,他懂得在什么情况下应该忍耐和保持缄默。同前任欧拉不同,拉格朗日喜欢沉思而不喜欢争论。他承认自己“对争论有极大的反感”。要是被逼得没有办法,他会巧妙地使自己的回答不使对方难堪,并且预先真心实意地申明: “我不知道。”

但是,切不可认为他软弱可欺,或者一味无原则地忍让。如果他的信念受到攻击,他懂得怎样进行自卫。有一件事给普鲁士的同事们留下难忘的印象:拉格朗日受到达朗贝尔等朋友的启蒙思想的影响,对女科学家不抱偏见。她们的论文和信札,虽然数量极少,他都一视同仁。他知道,她们达到这一地步,要付出比男科学家大得多的代价。在今天,这样来对待女科学家,似乎不值一提。然而,在当时保守的普鲁士,抱这样开明的态度几乎不可思议。按照那时候的惯例,如果不把她们的信件或论文原封不动地退回去,就是最大的宽容。苦于找不到借口把他轰走的普鲁士人,抓到这根稻草如获至宝。冷言冷语和造谣中伤从四面八方向他袭来。可以想像,这种攻击对于一个还没有结婚的青年是一种什么滋味。但是,拉格朗日没有动摇。作为回答,他对她们的论文比以前审阅得更加仔细,回信也格外热情了。好心的学部秘书异常为难。他鼓起勇气把听到的流言蜚语告诉青年主任。谁知拉格朗日毫不生气,他微微一笑说:

“先生,我们都不要忘记自己的母亲正是女性啊。”

拉格朗日轻轻的一句话好似有千斤的力量,说得秘书面红耳赤地低下了头。

在和老朋友通信的时候,拉格朗日的意见是直率的,可是在科学院的正式报告中,他对别人科学工作的评价总是十分宽厚。在生活上,他从来不触犯别人,哪怕这种触犯有正当的理由。他置身于社交活动之外,埋头于自己的研究,直到同事们对他的存在感到习惯。温文尔雅的青年主任渐渐博得同事的喜爱和尊敬。作为对这位不爱抛头露面的青年数学家破格的优待,科学院同意他的论文可以不在大会上亲自宣读。

婚事

伴随着亚得里亚海送来的海风,柏林下起蒙蒙细雨。穿过连绵的群山和阴霾的云层,冲破冰冻的大地,春天来了。1767年3月,拉格朗日和奥微拉在柏林大教堂举行婚礼。在都灵的时候,奥微拉对自己的“房客”早就倾心。可惜青年一头埋在工作里,丝毫没有察觉。爱情给姑娘以智慧和勇气。有一次,她邀请拉格朗日陪她上街去买东西。拉格朗日没有心思逛大街,不过他长期受姑娘的关照,不好意思拒绝。这次出门使拉格朗日“大开眼界”。他自己因为经济条件不好,在生活上知道精打细算。平日进出的也就是学校附近的几家小铺子,无非是买些墨水、纸张一类的东西。这一天姑娘把他带到一家豪华的商店,买起东西来大手大脚,满不在乎。银币哗哗地往外倒。本来心不在焉的拉格朗日大吃一惊。他实在看不下去,终于给她出主意,代她买起丝带和皮鞋来。谁知这正中姑娘的下怀。从此以后,她每次出门总拉着拉格朗日作伴。像晨曦透过窗帘悄悄地来到书房,拉格朗日不知不觉地坠入了情网。

结婚的喜讯传到巴黎,达朗贝尔写信来开新郎的玩笑:

“我知道你已经采取我们的哲学家们所谓的‘决定性步骤’,……大数学家首要的是应该懂得怎样计算自己的幸福。因此我毫不怀疑,经过仔细计算,你已经找到婚姻问题的解。”

拉格朗日也开了个玩笑来回敬。他在回信中压根儿一字不提自己的婚事,弄得达朗贝尔摸不着头脑。

“我不知道计算得是好是坏,”拉格朗日后来向老朋友解释道,

“或许,甚至可以说,我根本没有作过计算。我本来很可能像莱布尼兹那样终身不娶。他曾经被迫考虑过这个问题,但是下不了决心。我向你承认,我一向对结婚不感兴趣。……可是环境决定我和一位亲戚结婚,由她来照料我和我的一切事务。如果我没有告诉你,那是因为在我看来,这件事太无关紧要,根本不值得打扰你。”

婚后的生活十分美满。奥薇拉知道,时间对丈夫是多么宝贵。不用说,她再也不拉着他上街去买东西了。遇到拉格朗日的工作告一段落,主动陪她出去散步的时候,她会像小孩一样地高兴。奥薇拉无微不至地关怀着丈夫的起居和生活。妻子温存的体贴和甜蜜的笑容给拉格朗日增添巨大的力量。可惜奥薇拉没有能和丈夫白头谐老。她染上了可怕的肺病,这在当时是不治之症。拉格朗日彻夜不眠地在旁服侍,但是终究不能从死神的手中夺回爱妻的生命。

造了,拆掉,再造

从此,他只有用工作来慰藉自己。失去妻子的“监护”,拉格朗日又恢复连续几十个小时工作的老习惯。肚子饱一顿,饿一顿,一度得到控制的胃病再度恶化了。病痛发作的时候,他只好一手捂着肚子,一手计算写作。额头上沁出一颗颗豆大的汗珠。鹅翎笔常常因为他的胃部剧痛被突然折断。但是,拉格朗日没有停笔,更没有草率从事。在给达朗贝尔的信中,他一边抱怨病魔无情的折磨,一边无可奈何地承认:“我不可能得到休息。我有个坏习惯,要几次重写自己的论文,直到比较满意为止。对我来说,这个毛病已经改不了啦!”

在另一封信里,他说得更加形象:

“我像王公们建造宫殿那样,造了,拆掉,再造,……一直到我感到满意。可惜这样的机会很少。”

每一个结论,他要反复推敲;每一个公式,他要着力提炼。仅仅从实用上解决一个具体问题,不能使他满足。他必定要一步步深入到问题的最核心部分,找出规律性的东西,并且把它们概括成优美的数学公式。因为理论只有当它能用数学来描述的时候,才达到完美的境地。因此他的著作宏伟严谨,完美和谐,宛若辉煌的宫殿。从拉格朗日时代到今天,数学和力学取得了突飞猛进的进展。但是拉格朗日的许多结论至今仍然几乎一字不差地被引用着。他科学工作的准确性和深刻性,不仅受到同时代科学家的一致赞誉,也为后人所广泛传诵。尽管这样,拉格朗日不止一次地对自己的工作表示不满。在给另一位老朋友拉普拉斯的信中,他这样写道:

“我把数学看做是一件有意思的工作,而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说,我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。”

这是拉格朗日在自我标榜还是故作谦虚?不是。这是他的肺腑之言。拉格朗日完全知道自己工作的意义;他也不是在同行们面前故意贬低自己。但是,作为一位进取不息的科学家,他的目光始终注视着未来。日夜萦绕于他心间的,不是自己已经越过的障碍,而是正面对着他的新的更伟大的挑战。这就是拉格朗日总是对自己的工作感到不满足的真正原因。不盛开“谦虚”之花,结不出“伟大”之果。谦虚和伟大就是这样紧紧地连结在一起的。正如他自己所说:

“一个人的贡献和他的自负严格地成反比,这似乎是品行上的一个公理。”

朋友们看到他不顾一切地工作,都十分焦急。他们千方百计想让他好好休息一下。他们邀请他去狩猎,去野餐,去钓鱼,去跳舞,……几乎想得到的一切都试过了,可是,十之八九遭到他有礼貌的谢绝。大家都感到束手无策。碰巧有一次,音乐神童莫扎特随他父亲和姐姐来柏林演出。大家决定请拉格朗日去听音乐会。这位奥地利音乐家果然有非凡的魅力,没有多费口舌,拉格朗日就一口答应。音乐会以后,朋友们兴致勃勃地来到他的家里畅谈感想。大家你一言我一语,气氛热烈。奇怪的是,主人拉格朗日只是含笑地听着,一言不发。客人们以为他必定另有高见。在大家的一再要求下,拉格朗日只好“坦白”:

“请诸位不要见笑。我去音乐会,是因为我不会欣赏。我听到头三拍,第四拍就区别不出来啦。这样,我就可以专心地思考问题,不会有任何东西打扰我。在这种音乐会上,我解决过不止一个难题。”

听了拉格朗日的一席话,大家不由得面面相觑!

理想实现了

拉格朗日呕心沥血的研究,在分析、天体力学,数论和代数方程理论等领域结出一串串引人注目的硕果。但是最重要的是,经过30年的精雕细凿,他终于建成一座无比辉煌的宫殿——《分析力学》,实现了自己青年时代立下的宏愿。因此,1782年9月15日,这个日子引起数学家的强烈兴趣。因为这一天,拉格朗日在给拉普拉斯的信中报告了这个好消息:

“一部关于分析力学的专著快要写好了。它建立在几个简单的原则或公式之上。可是,不知道什么时候什么地方能够出版,所以我并不急于最后完成它。”

早在都灵炮兵学校教书的时候,拉格朗日就开始酝酿这一宏伟的工程了。他要利用自己发明的变分法,把牛顿对力学的工作同欧拉、达朗贝尔等18世纪数学家的有关成果融为一体,把力学的各种原理统一起来,推导出刚体力学和流体力学的全部公式。《分析力学》对一般力学的意义,就像牛顿万有引力定律对天体力学的意义。它是一切力学必不可少的基础。爱尔兰数学家、理论物理学家哈密顿(1805—1865)赞美拉格朗日的工作“使力学成为科学的诗篇”。

在《分析力学》中,拉格朗日第一次把当时人们所普遍接受的“最小作用原理”在动力学上用具体的形式表现出来:

对于单个质点来说,质量、速度和两个固定点之间距离的乘积的积分是一个极大值或极小值。

拉格朗日还相信,对于质点组,甚至对广义质量来说,这个原理也是正确的。

最小作用原理是人类长期观察和实践的总结。人们发现,光线从甲处射到乙处,走的是最短的路径;一颗石子从空中自由坠落,不会在中途拐弯。早在古希腊时代,欧几里得在《反射光学》中证明,如图,光线从P点经镜面反射到Q点,所取的路径PRQ必定是入射角等于反射角。后来希罗发现,这是一条最短的路径。它比任何一条能够想像的路径,比如PR’Q,都要短。因此,在希腊时代以后,哲学家和科学家提出一种学说:大自然是以最短捷的可能途径行动的。在当时,人们接受这个原理,不但是因为它和他们的经验相符,还因为他们相信,物质行为和各种规律必须具有上帝创造的完美性。最小作用原理似乎满足这个准则:自然界是经济的。这样,他们利用这个规律的普遍适用,反过来“证明”上帝的存在和所设计的宇宙的完美性。但是,随着科学的发展,当科学的预言不断地和观察相符说明这些物理学的规律是完善的时候,上帝就节节败退。关心得到物理学上意义重大的结果,代替了关心上帝的设计。因此,和欧拉不同,拉格朗日接受最小作用原理,已经不需要上帝和建立在他的存在性上的任何前提。正是从这样一个极为平凡而又极为重要的原理出发,拉格朗日推导出支配力学的著名的拉格朗日方程。这个方程被人们誉为“一切科学中一个最了不起的例子,它从最平凡的表面现象中抓到了最重要的线索”。

拉格朗日用分析方法来研究质点和质点组机械运动的普遍规律, 标志着对希腊传统的第一次完全的突破。牛顿和他的后继者们在解决力学问题的时候总离不开画图。现在,拉格朗日证明了,如果一开始就应用分析方法,不但适用范围广泛得多,而且威力强大无比。在序言中,拉格朗日对分析有一段极为精彩的说明:

“我们已经有了力学方面的各种专著,但是本书的计划是完全新的。我曾经致力于把这门科学以及解决和它有关问题的技巧,归结为一般性的公式,这些公式的简单推导,就给出解决每一个问题所必需的全部方程。……在本书中找不到图形。我在其中阐明的方法,既不要求作图,也不要求几何的或力学的推理,而只是一些遵循着一致而规则的代数(分析)运算。喜欢分析的人将高兴地看到力学变为它的一个新的分支,并且感谢我扩大了它的领域。”

事实证明,拉格朗日的方法具有无穷无尽的生命力。这种方法,今天已经成为理论物理的一件普遍使用的锐利武器。
拉格朗日在序言中还以一种半开玩笑的态度指出,如果平面几何是二维空间的几何,立体几何是三维空间的几何,那么力学科学就可以看做是四维空间的几何。在有上下、前后、左右3个方向的三维空间中再加上一维时间,就可以确定一个动点的空间和时间。这种观点后来由闵可夫斯基加以充分发挥,使狭义相对论的形式更趋完美,并且为广义相对论提供重要的基础。

《分析力学》即将完成的消息不胫而走。科学界人士纷纷打听著作问世的日期,无不以先睹为快。为了加快进度,勒让德自告奋勇,亲自负责校订。可是,正如拉格朗日所担心的那样,等到这部科学界翘首以待的巨著全部完成以后,果真找不到一处出版的地方!德国的出版商见到稿子中都是各种古怪而复杂的公式,莫不倒吸一口冷气。谁也不愿意问津这桩赔钱的买卖。30年的心血眼看要被束之高阁。有人劝他把稿子寄到巴黎去碰碰运气。拉格朗日在20年前访问巴黎的时候,结识一位名叫安培·莫里哀的神父,他对拉格朗日怀有深深的敬意。神父带着稿子去向一位认识的出版商说情。可是,任凭他说得口燥唇干,出版商只是一声不吭。“稿子写得再好,如果赚不了钱,管什么用呢?”神父不得不立下保证:在一段规定时间以后,把售不出去的《分析力学》全部买下来。精明的出版商这才答应接受这部稿子。

严酷的冬天

1786年,腓特烈大帝去世。对非普鲁士人的抵触情绪和对科学的冷漠气氛,使拉格朗日愈来愈难以在柏林呆下去。第二年,他接受法国国王路易十六的邀请,作为法国科学院院士来到巴黎,并且答应柏林科学院提出的条件,在今后几年里继续给它寄论文去。

巴黎1788年冬天,天阴沉沉的。狂风呼啸,大雪纷飞。到处是白茫茫的一片。窗户本来已经关得严严实实的,拉格朗日又拉起窗帘。房间里到处是零乱的书籍,新出版的《分析力学》被冷落地扔在角落里,上面蒙上一层薄薄的灰尘。法国还没有经历过那样严酷的冬天,连法国南部的港口城市马赛,气温都降到零下17—18摄氏度。报纸上每天都有穷人冻死的消息。就在法国科学院对面的门洞里,收尸人每天总要从那里抬走几具倒毙的尸体。

拉格朗日清楚地记得路易十六和玛丽·安托瓦内特王后在王宫接见时候的情景。路易十六对他的工作根本不感兴趣,只问他喜不喜欢打猎。因为国王本人是个狩猎迷。听到拉格朗日说,“我只拿过笔,没有拿过枪”,傲慢的国王扭头就走,把请来的科学家冷冷地撇在一边。王后倒是显得殷勤。她拉着拉格朗日问长问短,似乎对他的工作很有兴趣。当安托瓦内特谈到想拜读他新出版的大作的时候,拉格朗日不由得苦笑起来。不过他还是有礼貌地表示十分乐于奉献一本。他没有说明,《分析力学》出版以后,他自己连翻都还没有翻过呢!王后亲热地邀请他去参加星期五的宫廷舞会,甚至还好奇地打听他为什么不再结婚。可是,不管王后多么热情,拉格朗日在富丽堂皇的宫殿里浑身感到不自在。后来他知道,这位妖艳的王后一星期要做4双新鞋,专门侍奉她的贵族有四五百名!

每星期的宫廷舞会,他可以借故不去。著名化学家拉瓦锡家中举行的科学家聚会,他盛情难却。拉格朗日的态度还和以前一样和蔼可亲,不过他不再主动和别人交谈。他茫然注视着窗外,流露出深深忧郁的神情。宫廷的穷奢极欲和劳苦大众的绝望处境强烈震撼他的心灵。他感到窒息,感到难过。自己30年研究的心血似乎只是在安托瓦内特王后的梳妆台上多了一件风雅的摆设。他的工作热情已经消失。如果有人告诉他,某个数学家正在研究一个重要的课题,他会说:

“愈多愈好,愈多愈好。这样,我只需要开始它而不必完成它了。”

对于数学本身,拉格朗日同样不抱乐观。当整个社会陷于绝望的时候,数学会有什么前途呢?他感到数学已经完成历史使命,至少是进入低潮。这个世纪的数学家以一往无前的精神开创了大量新的分支,取得了辉煌的战果。现在似乎到了尽头。它们已经变得这样复杂,以致除了个别的例外,一般都还找不到突破的线索。

在柏林的时候,他在给达朗贝尔的信中已经明白地流露出悲观情绪:

“我感到自己的惰性愈来愈大。我不敢肯定,我能不能再这样坚持10年。在我看来,似乎(数学的)矿井已经挖得太深了。除非发现新的矿脉,否则迟早势必放弃它。……科学院中几何学的处境,说不定要降到和目前大学里不显眼的阿拉伯语一样。”

达朗贝尔虽然和拉格朗日一样对数学感到悲观,他更为拉格朗日的消沉情绪担忧。在生命的最后时刻,1783年9月,达朗贝尔给自己的挚友寄出最后一封信。他改变以前的告诫:注意休息。这一次他劝老朋友把工作作为治疗精神苦闷的惟一药剂:

“看在上帝的份上,千万别放下工作!这是你最好的药物。再见,或许这是最后一次了。请别忘了世界上最爱你和尊敬你的人。”

不到一个月,拉格朗日最忠实的朋友——达朗贝尔,在巴黎与世长辞了!遵照老朋友生前的忠告,拉格朗日用潜心学习来打发漫漫的长夜,他埋身在浩如烟海的哲学、人类思想进化史、宗教史、语言学、医学和植物学等著作中寻找寄托和慰藉。

但是,“冬天来了,春天还会远吗?”如果说1788年法国罕见的严寒,正孕育着1789年的法国大革命,那么,由于高斯、柯西、阿贝尔和伽罗瓦等人的革命性创造,数学经过18世纪末叶的暂时困难,迎来了光辉灿烂的现代数学的春天!

重新燃起心中的火焰

1789年,巴黎起义人民进攻巴士底狱的枪声惊破了法国贵族和某些知识界人士的迷梦。王室贵族以及和旧政权有牵连的官吏,大批遭到清洗和镇压。为拉格朗日的安全着想,人们极力劝他离开法国。普鲁士正欢迎他重返柏林。但是,拉格朗日不是偷生怕死之辈。在千载难逢的历史性时刻,他要亲眼看一看这次改造社会的“伟大试验”的结果。他不否认,自己大半生是在王室的庇护下度过的。撒丁国王、腓特烈大帝和路易十六给了他丰厚的待遇和种种荣誉。不过他同样清楚,自己仅仅是他们雇佣的一名劳动者。在他们需要的时候,把他奉为上宾;不需要的时候,就会被一脚踢开。腓特烈对待欧拉的粗暴态度,他记忆犹新。玛丽·安托瓦内特王后的款待,同样不能使他稍感快慰。王后一次宴会的花费超过他一年的开销。他深深同情在死亡线上挣扎的劳动人民,衷心希望他们能赢得做人的真正权利。汹涌的革命洪流涤荡着封建的污泥浊水,使他无比感奋;大革命的烈火重新燃起他心中的火焰。但是,他毕竟是个书生。当革命政权对反革命分子实行严厉的镇压,特别是某些知识界的知名人士被送上断头台的时候,他感到沮丧。他无法填平血淋淋的阶级斗争的严酷现实和他心目中“完美的”革命之间的鸿沟。的确,共和国在国内外敌人的包围下,对反革命实行毫不留情的镇压,是有其正当的理由,但是要把握好这个“度”,要防止权力被滥用和普通人的权利遭到践踏,出现恐怖统治。革命对敌人的镇压,绝不是对科学的镇压。科学、教育、艺术在共和国关怀下得到飞速发展。为发给拉格朗日“生活津贴”,国民公会专门颁布一道法令。这是共和国对一个公民不同寻常的优待。不过通货膨胀很快使纸币一钱不值。政府委任他到发明委员会兼职,以增加收入。不久又请他去铸币委员会任职。正直的老科学家受到革命政权的充分信任和重视。革命前,法国大学的水平和德国一样糟。新政府决定创建高水平的大学。一所国民公会直属的三年制综合工科学校成立了。这所学校很快成为培养工程技术人才的摇篮。录取的学生要经过严格的考试,并且全部领取国家奖学金。拉普拉斯、蒙日、勒让德等法国最优秀的科学家被请来执教。拉格朗日负责制定数学教程并且担任首席教授。数学作为军事工程训练的一部分而受到极大重视。学校既教授理论,又讲解理论的应用,成为当时和以后各种工程学校和军事学校(包括美国的西点军校)的典范。它培养了像安培、柯西、阿喇戈和盖-吕萨克等19世纪初最著名的科学家。

拉格朗日不辞劳苦地工作。他亲自向基础不好的学生讲课,从算术、代数讲起,一直讲到微积分。他是出类拔萃的教师。陈旧的教材和照本宣科的教学法同他格格不入。在传统的微积分里,无穷大和无穷小向来是学生们学习上的“拦路虎”。为了避免这种困难,拉格朗日在教学中既没有采用莱布尼兹的“无穷小”,也没有采用牛顿的“极限”。他要避开任何几何的直观,把微积分的基本概念直接建立在解析函数概念的形式上。这对澄清100多年来在分析领域中的混乱,具有重大意义。他的理论后来发表在《解析函数论》和《函数计算教程》中。这两部著作启发和推动了他的学生柯西在30年后建立起比较严密的微积分。

拉格朗日在法国大革命时期最重大的贡献是在建立和完善一种新的度量衡制的工作中发挥主导作用。1873年,国际米制度量衡委员会在巴黎开会的时候,一致公认,米制是“法国革命的一项最伟大的科学事业”。在白金制成的标准米尺中刻着这样令人自豪的名言:

“世界各国万古通用”。

当时,以英国为首的欧洲各国大都采用以十二进制为基础的度量衡制,12英寸等于1英尺;金衡12盎司等于1磅。这种制度和十进位的计算制并存,就好像要把一只六边形的塞子硬塞到一个五边形的孔里,给生产和科学技术带来极大不便。在享有崇高威望的拉格朗日坚持下,委员会坚决主张以10代替12作为度量衡制的基础。可以想像,面对欧洲各国的反对和强大的传统势力,作出这个决定需要有多大的勇气。刚成立的时候,拉普拉斯和拉瓦锡都是度量衡委员会的成员。3个月以后,他们遭到“清洗”。拉格朗日一直担任主席。他感到迷惑不解:

“我不知道为什么留下我。”

他谦虚地没有察觉自己深切关怀人民命运的可贵品质。这种品质不仅保留了他的座位,也保留了他的脑袋。

这样的结束是不错的

正当年轻的共和国在同保王党的叛乱以及同欧洲联军武装干涉的斗争中取得节节胜利的时候,拉格朗日在同孤独和苦闷的搏斗中也传来喜讯:他再度结婚了!新娘是天文学家莱蒙尼的女儿。姑娘被拉格朗日的郁郁寡欢所感动,坚持要嫁给他。抵挡不住年轻女郎火一般的热情,拉格朗日终于屈服。漂亮的妻子不但真诚而且称职。拉格朗日也心甘情愿地作了许多让步。他陪妻子去参加舞会,到郊外野餐,要是在过去,这是不可想像的。不久,他已经几乎一刻也离不开自己的娇妻。她短时间的离开,即使是到商店去采购东西,都会使他感到难过。他诚实地谈到自己的愿望:

“我第一次结婚没有孩子。我真希望有一个!”

可惜,他没有如愿以偿。这时候,拉格朗日的声望达到顶峰。拿破仑把这位学识渊博的
大学者接到土伊勒里宫,同他讨论哲学问题和数学在现代国家中的作用。1796年,法国兼并意大利的皮埃蒙特地区。拉格朗日年迈的父亲当时仍住在这个地区的主要城市都灵。拿破仑特别命令他的大臣在市政厅恭候这位老人,以便告诉他:

“法兰西有幸得到的皮埃蒙特地区,曾经骄傲地诞生了您的儿子。由于他的天才,使全人类都分享到荣耀。”

但是,拉格朗日并没有把自己的荣辱和拿破仑权势的盛衰联系在一起。他晚年一直过着平静的学者生活。到了古稀之年,拉格朗日仍旧夜以继日地工作。可是年岁不饶人。在最后的岁月出现了短暂的昏厥症状。一天上午,妻子发现他人事不省地倒在地板上。在摔倒的时候,头撞在桌腿上受了重伤。拉格朗日深知自己的病情严重,但是毫不惊恐。对于必然的命运,他处之泰然。他照常埋头工作,只是速度被迫放慢。他抓紧时间为《分析力学》第二版进行修改和补充。

得悉他病势垂危,蒙日和其他老朋友都赶来探望。拉格朗日显得十分兴奋。在弥留时刻,他想跟他们谈谈自己的一生:

“我昨天病得很厉害,我的朋友!”他挣扎着支起身子,这样说起话来方便些,“我知道我要死啦。我的身体越来越虚弱。我的智力和体力不知不觉地在消失。我的力气在一点点地耗竭。到达生命的终点,我没有悲伤,没有遗憾,只有很少一点病痛。哦,死亡并不可怕。当死亡没有痛苦地到来的时候,算不上是项不愉快的最后使命。”

他呼吸急促起来。蒙日扶着他躺下,劝他静静休息。过了一会儿,拉格朗日又睁开眼睛,断断续续地说下去:

“……不要紧。一会儿以后,任何地方都不再活动了。到处都是死。 死只是身体的绝对休息。 这样,我就可以平静地告别了。……我有过事业;我在数学上赢得过一些声誉;我不恨任何人;我没有做过坏事。这样的结束是不错的,只是我的妻子不愿意……”

朋友们离开以后第二天,1813年4月10日凌晨,拉格朗日在一阵昏厥中没有再醒过来,他静卧在床上,好像在享受他一生所期待的休息。

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