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点关于直线的对称点问题

数学心得 huijiaorz 243℃ 0评论

点关于直线的对称点问题,这个是需要熟练记忆和使用,可在解决其他的问题中,作为一个重要的工具。
今天就整理了这个问题的两个证明(你知道茴香豆的”茴”字有几种写法么?),并且推广至点关于面对称的情况。

问题陈述

设$Q(x_0,y_0)$关于直线$l:Ax+By+C=0$的对称点为$P(x,y)$,则$$\begin{cases}x=x_0-2A\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\y=y_0-2B\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\\end{cases}$$

证明

证明方法一:当A、B、C都不为零时,点$M(0,-\frac{C}{B}),N(-\frac{C}{B},0)$在直线l上,所以
$$\begin{cases}\overrightarrow{MN}=(-\frac{C}{A},\frac{C}{B})\\\overrightarrow{PQ}=(x_0-x,y_0-y)\\\end{cases}$$

由两个向量相互垂直,易知
$$\begin{aligned}\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MN}=-\frac{C}{A}(x-x_0)+\frac{C}{B}(y-y_0)=0\\\end{aligned}$$


$$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}$$

当A、B都不为零,C为零时,$M'(0,0),N'(-B,A)$在直线l上,所以
$$\begin{aligned}\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MN}=B(x-x_0)-A(y-y_0)=0\\\end{aligned}$$

也即
$$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}$$


$$t=\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}$$


$$\begin{cases}x=x_0+At\\y=y_0+Bt\end{cases}$$

因为P、Q关于直线l对称,所以P、Q到直线l的距离相等,所以
$$|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}|=\frac{|A(x_0+At)+B(y_0+Bt)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

所以
$$|Ax_0+By_0+C|=|Ax_0+By_0+C+(A^2+B^2)t|$$

解方程得
$$\begin{cases}t_1=-2\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\t_2=0\quad\text{(舍)}\end{cases}$$

所以,此时命题获证。

当A或B等于零时,容易得知命题成立。

证明方法二:l的法向量(A,B)为直线PQ的方向向量,可设其直线方程为:
$$\begin{cases}x=x_0+At\\y=y_0+Bt\end{cases}$$

将上述方程带入l方程,解得交点坐标
$$\begin{cases}x_1=x_0-A\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\y_1=y_0-B\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\end{cases}$$

因为P和Q对称,所以
$$\begin{cases}2x_1=x_0+x\\2y_1=y_0+y\end{cases}$$


$$\begin{cases}x=x_0-2A\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\y=y_0-2B\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\\end{cases}$$

推广:直线到平面

设$Q(x_0,y_0,z_0)$关于平面$l:Ax+By+CZ+D=0$的对称点为$P(x,y,z)$,则
$$\begin{cases}x=x_0-2A\cdot\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}\\y=y_0-2B\cdot\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}\\z=z_0-2C\cdot\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}\\\end{cases}$$

有兴趣的老师、同学可以尝试一下

应用:函数与反函数图像对称问题

相信高中的同学都知道一个结论:函数和它的反函数关于y=x对称。但很少有同学知道这个结论是怎么得到的?现在就是见证奇迹的时刻。

套用上面的结论,函数$y=f(x)$上的一点$(x_0,y_0)$关于$y=x$的对称点为
$$\begin{cases}x=x_0-2A\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}=x_0-2\cdot\frac{x_0-y_0}{2}=y_0\\y=y_0-2B\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}=y_0+2\cdot\frac{x_0-y_0}{2}=x_0\\\end{cases}$$

到这里,相信你就能安心的使用函数与反函数对称的结论了。

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(2)个小伙伴在吐槽
  1. 这篇文章,还是很有用的啊,请大家分享转发~
    huijiaorz2019-06-17 09:03 回复
  2. 函数和它的反函数关于y=x对称
    huijiaorz2019-06-17 09:05 回复